La enseñanza del sistema de numeración en los
primeros grados
Susana Wolman
Licenciada en
Ciencias de
¿Palitos y ataditos? ¿Dibujos de triángulos y
cuadraditos? ¿Ábacos? ¿Cómo enseñar el sistema de numeración, qué recursos
emplear para su aprendizaje y sobre todo para que los alumnos comprendan el
valor posicional? ¿Cómo hacer para que
los niños comprendan lo que es fundamental del sistema? Estas preguntas
circularon una y otra vez en reuniones docentes, en cursos de perfeccionamiento
y ocuparon muchas hojas de artículos sobre la enseñanza.
Si bien a lo largo del tiempo se propusieron
diferentes enfoques, las respuestas a
estas preguntas que la enseñanza usual despliega al abordar el sistema de
numeración, se pueden sintetizar a través de los siguientes criterios: establecer
topes por grado y enseñar los números de uno en uno siguiendo el orden de la
serie; introducir la noción de decena como resultante de la agrupación de diez unidades; explicitar
el valor posicional de cada cifra señalando “unidades y decenas” como requisito
para la resolución de las operaciones y
emplear diferentes recursos materiales
para concretar el principio de agrupamiento de base diez.
Con respecto
a este último punto, recordemos que la tradición escolar supone que el
principio de agrupamiento de base y diez y el valor posicional se comprenden a
través de la realización de agrupamientos con materiales concretos y/o dibujos
y en consecuencia aparece en los
cuadernos 1º y/o 2º grado la famosa
“casita” en las que se marcan las unidades y las decenas.
Cabe aclarar que
estos recursos presentan varios inconvenientes cuando se intenta enseñar
con ellos la posicionalidad. En principio porque justamente
“traicionan” la posicionalidad que intentan transmitir. Veamos las
razones de esta afirmación. Cuando se tienen dos ataditos de diez palitos y
cuatro palitos sueltos, siempre se
tienen veinticuatro, independientemente
de la manera en que se presenten: cuatro palitos con un atadito delante y otro atrás o bien cuatro palitos y dos ataditos.
No es necesario apelar a la posición
para interpretar el número. Estos recursos
hacen que el sistema de numeración
se asemeje más a los sistemas aditivos, en los que se reitera la
potencia de la base, que a los sistemas posicionales en los que las potencias
de la base se representan solo a través de
la posición que ocupan los números. Delia Lerner señala al respecto:
“Estos procedimientos para concretar el
sistema de numeración tienen dos grandes inconvenientes desde el punto de vista
de una didáctica constructivista: el primer gran inconveniente es que se
deforma el objeto de conocimiento
transformándolo en algo muy
diferente de lo que él es; el segundo gran inconveniente es que se impide que
los chicos utilicen los conocimientos
que ya han construido en relación con el sistema de numeración”. (Lerner, D.
Esta manera de organizar la enseñanza del
sistema de numeración es considerada un requisito para la enseñanza de los algoritmos que a su vez se
presentan como el único procedimiento posible para resolver operaciones y su
enseñanza se basa en el supuesto de que
es suficiente con “presentar”, “mostrar” o “relatar” los sucesivos pasos de la resolución convencional para que estos sean adquiridos por los niños.
Se deja así a los alumnos solo la
posibilidad de repetir lo enseñado con
el riesgo de que lo hagan mecánicamente.
En otras palabras, este enfoque presupone por un lado, que los alumnos no
podrán resolver ninguna operación
aritmética si no se les explica
previamente cuales son los pasos a seguir; por otro, que la simple explicitación por parte del docente –aunque sea reiterada y
se apoye en los recursos antes
mencionados- es suficiente para que el
alumno comprenda la lógica subyacente
Sin embargo,
muchos maestros reconocen –y un amplio abanico de investigaciones lo señalan –
que los niños no comprenden los fundamentos de los métodos convencionales para
obtener el resultado de las operaciones enseñadas en la escuela aunque repitan
y señalen correctamente unidades y decenas. (Kamii, C. 1985; Lerner, D. 1992 b;
Ginsburg, 1989; Resnick, y Ford,
1990; Kaplan, Yamamoto y Ginsburg, 1989)[1]
La
enseñanza usual del sistema de numeración y de los algoritmos convencionales
correspondientes a las operaciones aritméticas en los primeros grados que hemos
sintetizado no facilita que los alumnos
comprendan las razones de los pasos que se siguen para obtener el resultado. En
efecto, los errores que cometen los niños al resolver algoritmos o las
explicaciones que brindan acerca de los procedimientos empleados incluso cuando
obtienen el resultado correcto –fundamentalmente en las famosas cuentas de
“llevarse o pedir prestado”– testimonian
la dificultad de los alumnos para comprender que dichas reglas están
íntimamente relacionadas con los principios de nuestro sistema de numeración. (Lerner
En todas estas propuestas de enseñanza estaban
ausentes las ideas de los niños. Hoy
sabemos –gracias a numerosas investigaciones sobre la producción y comprensión de notaciones numéricas– que los niños elaboran conceptualizaciones
propias y originales acerca de este objeto cultural; que lo hacen a partir de su interacción con las notaciones y con sus usuarios incluso mucho antes de su entrada en la
escuela primaria.
Hace ya más de una década de la publicación de un artículo[2]
(Lerner et al. op cit) en el que se sintetizaban los resultados de una primera
etapa de investigación sobre las ideas de los niños de entre cinco y siete
años, dirigido por Delia Lerner[3].
Allí, además de presentar dichas hipótesis infantiles, se afirmaba que la aparición y reaparición de ciertas respuestas infantiles llevó a
esbozar líneas de trabajo, pensar un proyecto de enseñanza que tomara en
consideración las ideas que los niños
construyen acerca del sistema de numeración. Desde el primer estudio se hizo
evidente la necesidad de diseñar
situaciones específicas que permitieran a los niños poner en juego aspectos
conceptuales del sistema de numeración.
Los siguientes estudios abarcan dos líneas de
investigación: psicogenética, que permite
avanzar en el conocimiento de las ideas infantiles y didáctica, que involucra el estudio a fondo
del funcionamiento de alguna situación didáctica llevada a cabo en diferentes
escuelas. Es claro que no podemos sintetizar aquí sus resultados pero sí
explicitar algunas ideas que resultan de dichos trabajos y que permiten orientar la enseñanza.
Una de las notas centrales de la propuesta didáctica
radica en proponer a los alumnos participar en situaciones didácticas donde se
use la numeración escrita sin dosificaciones y sin apelar a recursos
mediatizadores de los distintos agrupamientos; es decir, se propone la
interacción con el objeto de
conocimiento en toda su complejidad.
“¿Por qué partir de la interacción de los niños con
las escrituras numéricas? Porque la
numeración escrita es un objeto social con el que ellos están en contacto antes
y fuera de la escuela y acerca del cual elaboran desde temprano
conceptualizaciones propias –tal como lo han mostrado diversas investigaciones–
[4][…]
Considerar lo que los niños ya saben
acerca del objeto de conocimiento, diseñar situaciones didácticas que les permitan poner en juego
sus conceptualizaciones y les planteen desafíos que los inciten a producir
nuevos conocimientos son condiciones esenciales
para un proyecto didáctico que aspira a engarzar los conocimientos
infantiles con los saberes culturalmente producidos” (Lerner, 2005)
Usar la numeración
significa proponer problemas donde los alumnos tengan que movilizar lo que saben
para enfrentarlos como anotar e
interpretar escrituras numéricas que aun no conocen, (aunque no logren hacerlo
convencionalmente) compararlas, ordenarlas, y operar con ellas, es decir
resolver operaciones de suma y resta sin que nadie les explique previamente cómo hacerlo. De esta manera los alumnos –lo hemos
verificado– detectan regularidades. El establecimiento de estas
regularidades, es una condición
necesaria para que los niños comiencen
a reflexionar sobre ellas, a preguntarse
por las razones de esas reglas y
poder llegan a desentrañar aquello que la numeración escrita –menos
transparente que la numeración hablada por ser posicional– no muestra. Este es un
camino largo, de aproximaciones sucesivas, de un trabajo didáctico sostenido en
esta dirección.
Un
ejemplo del abordaje del sistema de numeración sin dosificaciones es el de una
secuencia didáctica estudiada minuciosamente en nuestra investigación y llevada
a cabo en varias escuelas en el inicio de primer grado. Dicha secuencia tiene
como propósito producir avances en la interpretación de números por parte de
los niños promoviendo la construcción de relaciones validas desde el punto de
vista de la organización del sistema de numeración. Se emplea el juego de la
lotería introduciendo nuevas reglas de juego de acuerdo con los objetivos
didácticos planteados. Por ejemplo, al “cantar” una bolilla, debe nombrarse el nombre del número, no las cifras
que lo componen. La única ayuda consiste en “pistas” que pueden dar los
compañeros. Si los niños desconocen el número
que tienen que cantar o buscar en el cartón, se pueden solicitar y
ofrecer ayudas, etc.[5] A lo
largo de la secuencia los niños “juegan” con todos los números, es decir, no se
espera que conozcan la denominación de todos los números para jugar, sino que
se sostiene que esta propuesta –entre otras- les permitirá avanzar en la
interpretación numérica. En este proceso de avance están fuertemente
involucradas las regularidades que pueden establecer entre los números. Por
ejemplo, para interpretar los
números pertenecientes al intervalo
entre dos nudos, los niños se apoyan en
la escritura del nudo inmediatamente anterior: para cantar 72,
los niños señalan 70 y luego leen
“setenta y dos” lo que muestra que están considerando que a una parte común de
las notaciones de ciertos números corresponderá una parte también común en sus
denominaciones orales. Regularidades que serían imposible detectar si solo se
trabajara, por ejemplo con los números
del 0 al 9.
Este enfoque
se vincula –como lo hemos adelantado– con otra manera de enseñar las operaciones. Ya en 1994
afirmábamos que: “cuando los chicos se enfrentan a situaciones
problemáticas, generan –además de estrategias propias para resolverlas–
procedimientos originales para encontrar los resultados de las operaciones
involucradas, procedimientos que están vinculados a la organización del sistema
de numeración decimal” (Lerner, et al. op. cit. 1994)
Por lo cual se propone que los alumnos resuelvan situaciones
problemáticas sin haberles mostrado previamente algún método de resolución. Los procedimientos
numéricos que los niños utilizan para resolverlas ponen en juego el
conocimiento que ellos están construyendo acerca del sistema de numeración,
facilitando de esta manera el establecimiento de los vínculos que existen entre
éste y sus procedimientos de
resolución.
La numeración escrita está regida por
un conjunto de operaciones subyacentes (aditivas y multiplicativas) que hacen a
su organización posicional y decimal. Los cálculos están regidos por reglas que
dependen de la organización de los números. Por ejemplo, cuando un niño, para
sumar 35 + 26 hace 10 + 10 + 10 + 5 + 10
+ 10+ 6, suma los “dieces” y luego el cinco y el seis, está considerando cómo se compone
cada uno de los números involucrados, cuáles de las “partes” en las que descompuso los números son del mismo orden
para componerlas entre sí ( 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60) y, finalmente,
las de diferente orden (5 + 6). Estas
transformaciones sobre los números están utilizando las operaciones aditivas
que subyacen a la numeración escrita.
También las
cuentas convencionales apelan a las reglas del sistema de numeración: sin
embargo al sumar o restar en columnas,
los alumnos no necesitan poner en acción en todo momento los conocimientos sobre el sistema de numeración. Sumar las
cifras de unidades y decenas puede ser realizado sin pensar lo que estas cifras representan,
siempre se suman cifras.
En contextos didácticos orientados a provocar
que los niños desplieguen sus propios procedimientos, los “anoten”, los comparen con los de sus
compañeros y los justifiquen se hace evidente que sus procedimientos se vinculan con sus concepciones sobre el
sistema de numeración y a su vez se
originan nuevos conocimientos sobre las reglas que rigen el sistema. La
organización de la numeración
escrita y las operaciones sostienen
estrechas interrelaciones: comprender el sistema de numeración supone desentrañar cuáles son las operaciones
subyacentes a ella, al mismo tiempo que
la resolución de operaciones
constituye un terreno fecundo para profundizar en la comprensión del
sistema de numeración.
Organizar tiempos
y espacios en los que se reflexione tiene como objetivo que los alumnos
expliciten y fundamenten tanto los procedimientos
desplegados como las transformaciones numéricas realizadas, justifiquen su
validez, discutan acerca de sus diferencias y semejanzas, retomen regularidades
numéricas ya detectadas o descubran nuevas, se apropien de un modelo de
escritura aritmética. Desde esta perspectiva, focalizar en la relación
existente entre notación numérica y operaciones
aritméticas constituye una
instancia privilegiada para profundizar
en la comprensión del sistema de numeración.
Puede advertirse que estamos oponiendo un aprendizaje de reglas
sostenidas por la comprensión de su fundamentación o su funcionamiento a un
aprendizaje de reglas en sí mismas, sin llegar a desentrañar su por qué.
Llegar a establecerlas en el marco de un proceso constructivo, es
permitir tejer un conjunto de relaciones que las justifican, que permite
extenderlas a nuevas situaciones o vincularlas con otras reglas, es bien
diferente a aprenderlas porque “alguien me las dijo” –es decir, de manera
fundamentalmente externa–, sin comprender el por qué de tales reglas.
En
situaciones didácticas como las que se
señalan, los chicos pueden formular afirmaciones como las siguientes:
“El que nunca me acuerdo es el veinte, pero si me lo
decís, después ya sé solo que sigue veintiuno, veintidós, veintitrés”… (Frente al conteo
de su colección de objetos)
“Ese no puede ser diecisiete (por 107) porque tiene
tres [cifras] y los de tres son cienes, siempre”. (Frente a la
interpretación de una escritura no convencional
de otro niño)
“Cuando le sumás diez o cualquiera de los de diez
[veinte, treinta, cincuenta] a uno de
los de cien, no cambia el de adelante, porque es de los dieces del medio” (Justificando sumas)
“Ese no puede ser el treinta y cinco porque treinta
suena a tres y ese, que tiene un cuatro, tiene que ser cuaaa…renta y cinco”(Frente a la
bolilla 45 y como respuesta a una interpretación de una compañera)
“En veintitrés,
el cero de veinte está abajo del tres” (Justificando su
escritura convencional de 23)
“Esta es la compu más
cara porque todos tienen cuatro
[cifras] en el precio, pero este es el
único que empieza con tres; los otros empiezan con más chicos” (Comparando precios)
“Si “tendría”
treinta y seis más diez es cuarenta y seis; treinta y seis menos diez es
veintiséis porque le sacamos un diez (Frente a la pregunta de la maestra
acerca de cómo sabían que treinta y seis menos diez es veintiséis)[6]
“Cuando está el
dos solo y no tuvo nunca, nunca un
número atrás, entonces es dos”.
“El dos siempre vale veinte cuando tiene
un número atrás, pero es de a dos números”.
“Como el veinte
tiene dos dieces, podés formar veinte adentro del dos cuando tiene un número al
lado”. (En una reflexión, respuesta de varios alumnos cuando la maestra
preguntó cuándo el dos vale veinte)
“Cuatro
y cuarenta se parecen en el cuatro pero no valen igual; el de cuarenta son
cuatro de diez” (Justificando en un juego en el que cada punto de un dado
vale diez, por qué cuatro se escribe 40)
“El de adelante es el de los dieces, si el seis está
adelante, tiene seis dieces” (Respondiendo a
una contraargumentación de la maestra acerca de si 63 podría desarmarse en 30 y
6)
“Para hacer sumas podés ordenar los
números como quieras, da lo mismo porque son los mismos números que los ponés
en otro orden.”
“En la resta no pasa porque le sacás. Sólo
pasa con la suma que se puede cambiar el orden de los números”. (Algunas
respuestas de los alumnos sobre lo que
saben de cómo resolver sumas y restas)
Estos niños están construyendo conocimiento
matemático y estas afirmaciones son su expresión. Compartirlas y reflexionar
sobre ellas en las clases es un factor de progreso para todos los alumnos. Las
actividades en la que las distintas
resoluciones constituyen el objeto de estudio enriquecen el conocimiento de
todos los alumnos. Esto es posible porque, además de alentar la explicitación
de los procedimientos y de los conocimientos matemáticos subyacentes ––lo cual
transforma los conocimientos puestos en acción–, estos momentos posibilitan que
descentren su pensamiento, sus propios puntos de vista, y consideren el de los
otros, al mismo tiempo abren ante todos
el ámbito de las posibilidades, generando condiciones para los avances en sus
conocimientos. La interacción entre los alumnos se revela así como una
herramienta especialmente adecuada para lograr que los conocimientos se hagan
cada vez más explícitos y compartidos.
La comprensión es un derecho de todos los
niños y es función de la escuela posibilitar y garantizar el acceso a una
relación con los números que permita utilizarlos con toda su potencialidad. Es
en la escuela donde los niños podrán encontrarse con
situaciones como las que sintetizamos;
con un espacio donde la heterogeneidad de conocimientos tenga cabida y juegue
un papel productivo, donde recibir información que les permita progresar en sus
conocimientos numéricos.
Referencias:
Alvarado, M. y Ferreiro, E. (2002) “La construcción del
sistema gráfico numérico en los momentos iniciales de la adquisición del sistema gráfico alfabético” tesis de
doctorado, dirigida por
Alvarado, M. y Ferreiro, E. (2000): “El análisis del nombre de números de dos dígitos en niños
de 4 años”Revista Latinoamericana de
Lectura (Lectura y Vida) Año XXI- Nº1
Brizuela, B. (1997)
“Inventions and conventions: A store about capital numbers”. For the learning of Mathematics, Nº 17, 1, 2-6
Brizuela, B. (2000): “Algunas ideas sobre el sistema de
numeración escrito en niños pequeños”, en Elichiry, N. (Comp.) Aprendizaje de
niños y maestros: Hacia la construcción de un sujeto educativo. Editorial
Manantial. Buenos Aires
Broitman,
C. y Kuperman, C. (2005) Interpretación
de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Ficha de
Cátedra Didáctica de Nivel Primario. Departamento de Ciencias de
Ginsburg, Herbert P. (1989). Children’s Arithmeetic. Texas. Pro-ed
Kamii, C. (1985) El niño reinventa la aritmética España, Ed. Visor.
Kaplan, R.
Yamamoto, T y Ginsburg, H. (1989) “La enseñanza de conceptos matemáticos”
en Resnick y Klopfer Currículum y Cognición Buenos Aires.
Editorial Aique.
Lerner,
Delia (
Lerner,
Delia (1992 b). “Constructivismo y Escuela”. En: Cuadernos de
Lerner,
Delia (2005). “¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza
y el aprendizaje del sistema de numeración”. En Alvarado, M. y Brizuela, B. (Compiladoras)
Haciendo números. Las notaciones
numéricas vistas desde la psicología, la didáctica y la historia. México:
Paidós Mexicana. Reproducido en Enseñar Matemática Nivel Inicial y Primario,
Nº 01 y 02.
Lerner,
Delia; Sadovsky, Patricia y colab. de Wolman,
Susana (1994): “El sistema de numeración: un problema didáctico”. En Parra,
Cecilia y Saiz, Irma (comps.): Didáctica
de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
Resnick,
L. & Ford, W. (1990). La enseñanza de
las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
Scheuer,
N; Sinclair, A.; Melo de Rivas, S. y Tieche,
Ch. (2000). “Cuando ciento
setenta y uno se escribe 10071: Niños de
Sinclair, A. Tieche-Cristinat, C, & Garín, A. (1994).
« Comment l’enfant intèrprete-t-il les nombres écrits á plusieurs
chiffres? ». En M. Artigue, R. Gras, C. Laborde & P.Tavignot
(eds) : Vingt ans des mathématiques
en France. Grenoble:
Wolman,
S. (1999). “Los algoritmos de suma y resta: ¿por qué favorecer desde la escuela
los procedimientos infantiles?”. En: Revista del Instituto de Investigaciones en
Ciencias de
[1] Aclaremos que cuestionar una concepción de enseñanza no significa que esa concepción sea un “error” de algunos, en todo caso es una construcción colectiva bastante difundida. Son los estudios epistemológicos, psicológicos y didácticos lo que actualmente permiten este cuestionamiento y al mismo tiempo pensar una alternativa diferente.
[2] Nos referimos a Lerner, Sadovsky y Wolman
[1994]
[3] Desde 1998 hasta
2004, la investigación se desarrolló en el marco de proyectos UBACyT con la dirección de Delia Lerner y desde esa
fecha hasta la actualidad, bajo la dirección de Flavia Terigi.
[4] Sinclair [1988]; Bressan, Rivas y Scheuer
[1991]; Sinclair, Tieche Christinat y otros [1994] Lerner, Sadovsky y Wolman [1994]; Brizuela [1997, 2000 y
2001]; Alvarado y Ferreiro [2002]; Alvarado [2000]
[5] Puede
consultarse Broitman y Kuperman (2005 )
y Quaranta , Tarasow y Wolman (2003)
[6] La construcción de
regularidades del sistema de numeración
–no siempre descubiertas al mismo tiempo por los niños– es facilitada
también al indagar sobre los procedimientos utilizados para obtener resultados.
Es por eso que, la maestra indaga sobre
cómo sabían, por ejemplo que 36 –10 = 26, y de esta manera alentarlos a que
formulen una regla que les permita sortear
“contar de uno en uno” para sumar o restar diez: “cuando se resta diez a un número de dos cifras cambia el de
adelante en uno menos”. Algo ocurre con
los números que les permite evitar el conteo y utilizar esa regularidad en el
momento de operar con ellos.