1.-
Introducción
Una
serie temporal es una secuencia de observaciones ordenadas en el tiempo (Zt),
de algún proceso subyacente. Se asume que el intervalo de tiempo entre la
observación en el tiempo t (Zt) y la observación realizada en el tiempo t+1 (Zt+1)
es constante para cualquier valor de t.
Datos
con las propiedades apuntadas son abundantes en las ciencias comportamentales,
y se realizan, generalmente, con dos distintos tipos de propósitos: desarrollar
modelos que expliquen los cambios aparecidos en la serie (nivel, tendencia,
ciclos...) y modelos de predicción de resultados futuros.
El
diseño cuasi-experimental de series temporales interrumpidas fue propuesto
inicialmente por Campbell
(1963) y Campbell y
Stanley (1963) como medio de evaluar la importancia de la intervención en
ambientes socio-comportamentales. A la hora de la comprobación del efecto
intervención, el acercamiento más prometedor es la adaptación realizada por Glass et
al. (1975) de los modelos ARIMA desarrollados inicialmente por Box y Tiao
(1965) y Box y
Jenkins (1976).
El
presente artículo pretende ser una ejemplificación de la citada adaptación de
Glass.
Historia.C.F.M.,
niño de ocho años de edad, cursa 3 E.G.B. y es enviado a consulta porque
presenta problemas de lectura y escritura, y ha sido diagnosticado con una
presunta dislexia. La profesora dice que el niño no sigue la clase y al no
disponer de tiempo para dedicarle en exclusiva, el niño empeora día a día.
El
niño presenta una capacidad intelectual normal, alrededor de 100 (WISC).
Aplicado el test Reversal, presenta un grado normal de desarrollo de la
lateralidad. Procede de una familia sin problemas y preocupados por el niño.
En
cuanto al problema que le trajo a consulta, los problemas de lectoescritura
logra una velocidad lectora entre 30 y 40 palabras por minuto en textos de 100
palabras, con una media de unas siete u ocho faltas de lectura por cada 100
palabras y en copias de 50 palabras comete una media de unas 20 faltas de
ortografía.
Hipótesis
de trabajo. Se trata de un deficiente aprendizaje de la lectura y
falta de atención durante la misma.
Tratamiento. Se
elaboran textos de unas 100 palabras en los que sucesivamente se van ampliando
los sonidos. El primer texto presenta únicamente las vocales y la m. En el
segundo se amplía con la t, y así sucesivamente, hasta incluir todos los
sonidos. Luego se pasa a las sílabas inversas y las sílabas mixtas.
La
lectura toma como base la palabra, no descomponiéndola nunca en sílabas. Las
frases son sencillas y cortas.
El
niño lee los textos palabra a palabra, haciendo una pausa al finalizar cada
palabra. Después lee el texto una segunda vez, tomando como base la oración.
Una
vez leído el texto lo copia bajo la atenta mirada del terapeuta que trata de
impedir cometa alguna falta.
Estos
ejercicios se complementan con ejercicios de atención como búsqueda de errores
en dibujos semejantes, tachado de signos.
2.-
Análisis y resultados
Los
resultados para la velocidad de lectura aparecen en la figura 1.
El
modelo matemático utilizado en las series temporales es el concepto de proceso
estocástico. Cuando en una serie la media permanece constante a lo largo de
ella, se dice que es estable en media, mientras que cuando varía se dice que
muestra tendencia. Si la varianza es estable a lo largo de la serie, diremos
que es estable en varianza. Para la aplicación de los modelos ARMA es necesario
que las series sean estables en media y varianza.
Si
la serie no es estable en varianza se puede aplicar una transformación de la
familia Box-Cox 
Si
la serie no estable en media diferenciaremos la serie hasta que desaparezca la
tendencia.
Identificación
del modelo.
La
fase de identificación consiste en decidir si la serie es estable en varianza,
o si por el contrario necesita ser transformada, si es estable en media o
necesita ser diferenciada y decidir provisionalmente sobre los polinomios
autorregresivo y de media móvil.
La
representación gráfica de la serie nos da una primera idea sobre la estabilidad
de la misma. En un gráfico de dispersión, la estabilidad en varianza estaría
representada por el mantenimiento de un mismo grosor y misma densidad de la
nube de puntos a lo largo de la serie.
Observando
la figura 1, se puede observar una pequeña disminución del grosor a partir de
la fase de intervención. La utilización de un gráfico dispersión-media puede
ser un buen instrumento para detectar la homogeneidad de la varianza (Peña
Sánchez de Rivera, 1978, 1992). En la figura 2 se muestra un gráfico
rango-media. Para realizarlo se dividen las puntuaciones en intervalos de 10
como se muestra en la siguiente tabla:
|
|
Puntuaciones repartidas en intervalos |
||||||||||
|
30 |
37 |
30 |
29 |
40 |
30 |
40 |
50 |
58 |
64 |
62 |
|
|
35 |
30 |
35 |
34 |
41 |
32 |
48 |
49 |
60 |
66 |
66 |
|
|
34 |
29 |
34 |
37 |
34 |
31 |
39 |
46 |
57 |
64 |
67 |
|
|
40 |
41 |
38 |
31 |
37 |
36 |
47 |
53 |
62 |
63 |
64 |
|
|
33 |
30 |
37 |
30 |
30 |
37 |
50 |
58 |
59 |
65 |
61 |
|
|
35 |
33 |
30 |
34 |
35 |
31 |
39 |
55 |
65 |
64 |
65 |
|
|
34 |
38 |
41 |
31 |
35 |
39 |
45 |
53 |
63 |
59 |
|
|
|
40 |
32 |
36 |
39 |
33 |
41 |
42 |
49 |
68 |
67 |
|
|
|
36 |
31 |
33 |
36 |
38 |
38 |
45 |
59 |
60 |
65 |
|
|
|
35 |
39 |
43 |
35 |
34 |
43 |
48 |
52 |
61 |
64 |
|
|
|
Rango |
10 |
12 |
13 |
10 |
11 |
13 |
11 |
13 |
11 |
8 |
5 |
|
Medias |
35.2 |
34 |
35.7 |
33.6 |
35.7 |
35.8 |
44.3 |
52.4 |
61.3 |
64.1 |
64.17 |
|
Varianza |
8.16 |
17 |
16.41 |
9.64 |
10.01 |
18.96 |
14.81 |
15.24 |
10.01 |
4.09 |
4.47 |
En
la figura 2 se observa que los primeros intervalos se reparten alrededor de un
punto sin una pauta fija, mientras en los últimos, después de la intervención,
se produce un aumento de la media, mientras la dispersión muestra una ligera
tendencia a la baja. Teniendo en cuenta que el último punto, el más bajo,
corresponde a un intervalo con sólo 6 puntuaciones, sería apropiado aceptar la
hipótesis de estabilidad de la varianza.
En
los casos dudosos, podría utilizarse un contraste estadístico para la
homogeneidad de la varianza entre los intervalos utilizados para el gráfico
rango-media. Téngase en cuenta que los diseños de series temporales
interrumpidas utilizados en Psicología, se trata de registros de respuestas de
un sujeto, que están consolidadas en el tiempo, por lo que en la línea base,
tenderán a ser estables en media y varianza. Pero al realizar la intervención
se espera haya un cambio en el nivel de la media, pero dicho cambio puede ir
acompañado de un cambio en la varianza.
Para
nuestra serie, realizamos el contraste de Cochran 
A
partir del cuadro 1 se halla el estadístico R=0.15, después de eliminar el
último intervalo que consta de sólo 6 puntuaciones. Como R(10,10;.05)=0,2439>R=0,15
no rechazamos la hipótesis de homogeneidad de las varianzas.
Observando
la función de autocorrelación (FAC) en la figura 3, vemos que los coeficientes
de autocorrelación decrecen lentamente, lo que nos sugiere la no
estacionariedad de la serie, lo que también parece obtenerse de la inspección
visual de la serie.
Una
vez diferenciada la serie, la nueva FAC decrece exponencialmente hasta el
retardo 12, aunque se recupera en retardos sucesivos. La función de
autocorrelación parcial (FACP) se corta después del segundo retardo, lo que nos
sugiere un modelo AR(2). Ambas pueden verse en la figura 4
El
modelo identificado tendría la siguiente estructura:
en forma alternativa
que desarrollado quedaría
.
Estimación
del modelo.
Hallando
la regresión de la serie original, eliminadas las dos primeras observaciones,
sobre la misma serie duplicada, pero eliminando del primer vector la primera y
última observaciones, y del segundo vector las dos últimas observaciones
obtenemos 
y 
El
modelo quedaría de la siguiente forma 
.
Validación
del modelo.
Obtenemos
los residuales mediante la expresión 
.
Las
correlaciones de la FAC y de la FACP, que pueden verse en la figura 5, no son
significativas, lo que nos indica que el modelo es ajustado. Las hipótesis del
modelo permiten que algún coeficiente salga fuera de la banda de significación.
Hallamos
el estadístico Ljung-Box de significación de los coeficientes de correlación 
. Como 
, se acepta la H0 de no significación de los
coeficientes de correlación.
Prueba
del efecto intervención
A
continuación hallamos la recta de regresión de las puntuaciones sobre la
variable intervención (0 para la línea base, 0,02; 0,04; 0,06; 0,08:... para la
intervención, se supone un efecto gradual y permanente), transformando todas
las puntuaciones de la regresión mediante la ecuación 
.
La
matriz transformada sería
La
solución mínimo cuadrática para el vector de parámetros 
.
La
ecuación de regresión quedaría definida de la siguiente forma:
.
Aplicamos
la prueba t a ambos estimadores mediante las expresiones 
y 
donde SE es la raíz cuadrada de la
varianza residual y cjjes el j-ésimo elemento de la diagonal de la
matriz 
.
Para
el primer parámetro t=12.05 y para el segundo parámetro t=4.97. Como t(>30,01)=2.57
se acepta la significatividad de ambos parámetros.
3.- Conclusión
En
la figura 1, donde se recogen los datos originales, las puntuaciones durante la
línea base semejan ruido blanco. A partir de la intervención se observa un
cambio de tendencia, que se estabiliza en un nivel superior al final de la fase
de tratamiento. Aunque no se muestra, se comprobó, a nivel estadístico, que las
puntuaciones de la linea base son ruido blanco, mientras que las puntuaciones
de la fase de intervención presentan una estructura AR(2), estructura que
hereda la serie completa. Esta ausencia de tendencia en la linea base, seguida
de tendencia en la fase de intervención puede considerarse como una prueba de
la efectividad del tratamiento (Tyron, 1982).
En
la prueba estadística presentada, al obtener parámetros altamente
significativos en la recta de regresión, obtenemos significación estadística de
un efecto gradual y permanente de la intervención.
C.F.M.
cursa en la actualidad C.O.U., sin haber repetido ningún curso, y no han
aparecido problemas relacionados con la lectoescritura.
4.- Referencias
Box,G.E.P. & Jenkins, G.M.
(1976). Time Series. Forecasting and control. San Francisco: Holden Day.
Box,
G.E.P. y Tiao,G.C.(1975). A change
in level of a nonstationary time series. Biometrika, 52, 181-192
Campbell, D.T. (1963). From
description to experimentation: Interpreting trends as quasiexperiments. En
C.W. Harris (Eds): Problems of Measuring Change. Madison, Wisconsin:
University of Wisconsin Press
Campbell, D.T. y Stanley, J.C.
(1963). Experimental and Quasi-Experimental Desings for Research. En N.L. Gage
(Ed):Handbook of Research on Teaching. Chicago, IL: Rand McNally
Glass, G.V.: Willson, V.L. y
Gottman, J.M. (1975). Design and Analysis of Time-Series Experiments.
Boulder, CO: Colorado Associated University Press.
Peña
Sanchez de rivera, D. (1978). La metodología de Box y Jenkins: una aplicación a
la previsión del consumo de gasolina en España. Información comercial
española, 542,135-152
Peña
Sanchez de Rivera, D. (1992). Estadística. Modelos y métodos. Vol 2.
Madrid: Alianza Universidad
Tyron, W.W. (1982). A simplified
time-series analysis for evaluating treatment interventions. Journal of
Applied Behavior Analysis, 15, 423-429