La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. El blanco y el negro de algunas estrategias didácticas.

 

María Guadalupe Moreno Bayardo

 

El presente trabajo nace como expresión de una profunda inquietud compartida por quienes ejercemos la docencia en algún nivel educativo y nos hemos involucrado de manera especial con la enseñanza de la matemática. Sin duda habremos caído alguna vez en la cuenta de que no todas las estrategias didácticas mediante las cuales se ha intentado enseñar a los estudiantes a resolver problemas matemáticos conducen certeramente al objetivo propuesto, al menos no en todos los casos; pero también es posible que hayamos vivido "en carne propia" la sensación de incapacidad para responder a situaciones problemáticas, con el respectivo desencanto de quien habiéndose sentido "fuerte" en esta materia, descubre grandes limitaciones en su posibilidad de resolver problemas.

Trabajar en un análisis de los pro y los contra del uso de determinadas estrategias didácticas orientadas a la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, pretende aportar a los profesionales de la enseñanza de la matemática y a quienes tienen a su cargo la iniciación al aprendizaje de la misma en educación preescolar y primaria, un elemento de reflexión que enriquezca su acción docente en beneficio de la formación matemática de los estudiantes que tienen a su cargo.

Un referente conceptual

Abordar la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos como objeto de estudio, demanda la precisión de algunos conceptos y la explicitación de ciertos supuestos; ello permitirá proponer una respuesta a preguntas como: ¿qué es un problema?, ¿qué supone la resolución de problemas en términos de actividad cognitiva?, ¿qué tipos de conocimiento quedan involucrados en la resolución de problemas?, y desde un foco de interés particular, ¿es "enseñable" la resolución de problemas matemáticos?, ¿cómo puede orientarse en tal caso su enseñanza?

Como aproximación al concepto de problema, se asume la afirmación de Parra (1990:22) en la que establece que "un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata".

Si la resolución de problemas se analiza delimitada a situaciones de aprendizaje intencionalmente estructuradas y vinculadas con algún campo de estudio, como las que se dan en la dinámica escolar, ese disponer de los elementos para comprender la situación que el problema describe, a que se hace alusión en el párrafo anterior, supone que el sujeto que habrá de resolver el problema en cuestión, ha tenido acceso o ha construido aquel conocimiento declarativo y el respectivo conocimiento procedimental que son requeridos como antecedente mínimo necesario para poder comprender información, establecer relaciones y utilizar procedimientos con la finalidad de llegar a resolver el problema que se le ha planteado.

Aunque no es finalidad de este trabajo hacer una revisión amplia de lo que son el conocimiento declarativo y el procedimental, conviene especificar brevemente que Monereo et al. (1998:25) refieren que el conocimiento es declarativo "por cuanto puede comunicarse o declararse a través del lenguaje verbal", se trata de un conocimiento que ha sido construido mediante un proceso que Marzano (1997:43-44) describe de la siguiente manera: "el primer paso en el aprendizaje de conocimiento declarativo de alguna área de contenido es agregar lo que no se sabe a lo ya conocido acerca del contenido", en otras palabras, es "construir significado: agregar lo que sabes a lo que estás aprendiendo". Posteriormente, es necesario organizar el contenido que ha sido comprendido, de tal manera que éste tenga orden desde la perspectiva del aprendiz; esto supone una actividad cognitiva mediante la cual se reformula y rehace dicho contenido en alguna de las múltiples formas en que es posible organizarlo. Finalmente, se da un procesamiento de la información mediante el cual, conscientemente se guarda el conocimiento declarativo de manera que pueda ser recordado posteriormente.

En el caso concreto del contenido propio de la matemática, puede afirmarse, por ejemplo, que señalar las características de un triángulo equilátero, establecer las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, utilizar de manera apropiada algunos símbolos matemáticos o definir lo que es un número racional, es posible cuando el aprendiz ha construido el conocimiento declarativo respectivo.

El conocimiento procedimental o procesal es un conocimiento ligado a la acción o ejecución; dicho de otra manera, tiene que ver con el aprendizaje de procedimientos. Hablar de procedimientos requiere también de ciertas especificaciones porque se trata de un término usado con diferente alcance en diversos contextos; para efectos de este trabajo se recurre a una clasificación que tiene como base el tipo de regla que subyace en un conjunto de operaciones y que permite distinguir entre procedimientos algorítmicos y procedimientos heurísticos.

Siguiendo a Monereo et al. (1998:20), "llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo, planificar una entrevista o reducir el espacio de un problema complejo a la identificación de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos heurísticos".

Los procedimientos algorítmicos y los procedimientos heurísticos pueden ser considerados como extremos de un continuum en el que es posible situar diferentes tipos de procedimientos según su proximidad o lejanía respecto a cada uno de ellos.

En el campo de la matemática se hace necesario aprender una gran cantidad de procedimientos algorítmicos (que son los que más se identifican en este caso con el conocimiento procedimental), por ejemplo: para realizar la división con números naturales, para despejar incógnitas en una ecuación, para efectuar mediciones diversas, para construir gráficas, etcétera; pero también se requiere trabajar en situaciones que demandan un uso discriminado o diferenciado de ciertas acciones u operaciones de acuerdo con el objetivo al que responde su realización, se trata en estos casos de los llamados procedimientos heurísticos cuya utilización es mayormente demandada cuando el aprendiz debe dar respuesta a situaciones problemáticas.

Marzano (1997) señala que el aprendizaje de contenidos procesales (conocimiento procedimental) demanda: la construcción de significado que supone relacionar lo que se está tratando de aprender con lo que ya se sabe, la organización del contenido procesal que incluye la identificación de los pasos involucrados en un procedimiento determinado y finalmente la práctica de los procedimientos aprendidos hasta el punto en que la ejecución se vuelva prácticamente automática.

Hasta el momento, el énfasis de este apartado se ha puesto en explicar qué supone disponer de los elementos para comprender la situación que un problema describe; para ello se ha recurrido a la caracterización del conocimiento declarativo y del conocimiento procedimental en términos de considerarlos como antecedentes necesarios para posibilitar la resolución de problemas. Ahora se turnará la reflexión al otro aspecto que fue señalado como parte de la conceptualización de lo que es un problema; para ello se precisará cómo se está entendiendo el no disponer de un sistema de respuestas totalmente constituido que permita responder de manera inmediata y qué tipo de actividad cognitiva es necesario llevar a cabo para generar una respuesta pertinente al problema en cuestión.

Se hace necesario establecer en primer término que el no disponer de un sistema de respuestas totalmente constituido para resolver de manera inmediata un problema, no se está entendiendo como el hecho de que al sujeto se le planteen problemas que están más allá de lo que él podría resolver de acuerdo con su etapa de desarrollo cognitivo, el nivel educativo en que se encuentra y las experiencias previas de aprendizaje con las que cuenta; sino como algo que se deriva de que la situación a la que debe responder (planteada como problema) no es idéntica a alguna que haya resuelto anteriormente, no forma parte de un modelo o prototipo de situación que sugiera, por sí misma, el empleo directo de un procedimiento algorítmico ya conocido. Demanda el análisis de la información presentada como dato relevante en el problema, la cual no siempre está dada de manera explícita y, sobre todo, requiere de un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental del que ya se dispone, para ir más allá en un proceso que permita al estudiante la generación de un tercer tipo de conocimiento, denominado condicional, al que Monereo et al. (1998:27) describen como un conocimiento que "el alumno construye para la ocasión o reactualiza parcialmente si las circunstancias tienen elementos parecidos a los de otra situación en la que se utilizó eficazmente una estrategia". El nombre de condicional intenta reflejar la actuación mental que subyace en la toma de decisiones sobre las acciones a realizar "en estas condiciones, lo mejor es pensar o actuar así para lograr ese objetivo" (ibid.).

Ahora bien, la generación del conocimiento condicional es posible cuando el estudiante desarrolla un sistema de regulación y lo utiliza de manera consciente, reflexiva y eficaz, lo cual supone, entre otras cosas:

• Un constante ajuste de la actividad cognitiva del sujeto a los cambios y variaciones que presentan las diversas situaciones problemáticas que se le plantean.

• La decisión de cuáles conocimientos declarativos y procedimentales hay que recuperar y cómo hay que utilizarlos para dar respuesta a una situación específica.

• El control del proceso que implica planificar las acciones a realizar, llevarlas a cabo y evaluar la pertinencia de las mismas en términos de si se logró alcanzar mediante ellas el objetivo deseado.

En otras palabras, el estudiante que llega a generar el conocimiento condicional que se requiere para poder enfrentar con éxito la resolución de problemas, en este caso de problemas matemáticos, ha desarrollado estrategias de aprendizaje que, en términos de Monereo et al. (1998:27), son definidas como "procesos de toma de decisiones (conscientes e intencionales) en los cuales el alumno elige y recupera, de manera coordinada, los conocimientos que necesita para cumplimentar una determinada demanda u objetivo, dependiendo de las características de la situación educativa en que se produce la acción".

El caso ampliamente conocido de estudiantes de matemáticas que conocen la información relevante que les permitiría resolver un determinado problema, pero no pueden emplearlo en forma espontánea, muy probablemente es atribuible al insuficiente desarrollo de estrategias de aprendizaje. En otras palabras, es posible que algunos estudiantes cuenten con el conocimiento declarativo y procedimental que cierto problema demanda para su solución, pero que no estén en posibilidad de hacer un uso creativo y pertinente del mismo para generar el conocimiento condicional, que es demandado por el conjunto de información y de situaciones específicas involucradas en el planteamiento de cada problema matemático.

En la literatura existente acerca de la resolución de problemas matemáticos, pueden encontrarse múltiples análisis acerca de qué supone la realización de esta tarea en términos de actividad cognitiva y algunas propuestas de sistematización, hasta donde ésta es posible, de la tarea de resolver problemas. Entre otras, son ampliamente conocidas las aportaciones de Polya (1957), De la Vega (1984), Gagné (1991), Schoenfeld (en Santos, 1992), Parra (1990), mismas que tienen algunos elementos de coincidencia, aunque diferente designación de las etapas o acciones clave que se dan cuando una persona pretende resolver un problema.

Dado que en este trabajo el objetivo está relacionado con la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, no se extenderá a una amplia revisión y contrastación de propuestas como las referidas en el párrafo anterior, sino que se orientará a la discusión de su objetivo central a partir del referente conceptual presentado anteriormente, por ello se avanza ahora hacia preguntas que resultan fundamentales.

¿Es "enseñable" la resolución de problemas matemáticos?, ¿cómo puede orientarse en tal caso su enseñanza?

Para proponer una respuesta a estas preguntas, se retomarán necesariamente algunas de las ideas establecidas en el apartado anterior. Se ha afirmado que la resolución de problemas requiere de un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental del que ya se dispone, para generar un tercer tipo de conocimiento, denominado condicional.

A su vez, se hizo notar que, llegar a generar conocimiento condicional supone el desarrollo de estrategias de aprendizaje; así, la pregunta acerca de si es enseñable la resolución de problemas matemáticos puede hacerse parcialmente equivalente a la de ¿es posible enseñar estrategias de aprendizaje?

Se habla de una equivalencia parcial en tanto que las estrategias de aprendizaje se desarrollan no sólo para una tarea específica, como lo es la resolución de problemas matemáticos; si realmente se han desarrollado como tales (las estrategias), una de sus características esenciales es la posibilidad de transferencia a diversas situaciones o tareas que se le plantean al estudiante. Así, la enseñanza de estrategias de aprendizaje involucra, aunque rebasa en amplitud, a la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos.

Conviene entonces abundar un poco en la caracterización de las estrategias de aprendizaje, precisando primeramente con Monereo et al. (1998:17), que "el uso reflexivo de los procedimientos que se utilizan para realizar una determinada tarea, supone la utilización de estrategias de aprendizaje, mientras que la mera comprensión y utilización (o aplicación) de los procedimientos se acerca más al aprendizaje de las llamadas técnicas de estudio".

Ahora bien, el uso reflexivo de procedimientos demanda conciencia e intencionalidad, se trata pues de "una reflexión activa y consciente respecto a cuándo y por qué es adecuado un procedimiento o una técnica determinada" (ibid., p. 24), lo que en otras palabras puede designarse como toma consciente de decisiones, por contraposición a una forma azarosa de utilizar procedimientos o realizar acciones.

A la pregunta de si es posible enseñar estrategias de aprendizaje, no sólo se ha respondido positivamente, sino que existen cada vez más proyectos y programas educativos centrados en la enseñanza de las estrategias de aprendizaje, entre ellos los de Nickerson, Perkins y Smith (1985); Nisbet y Shucksmith (1986); Presley et al. (1992).

Del análisis de la obra de los autores que acaban de mencionarse, Monereo et al. (1998) derivan una especie de principios o pautas metodológicas que pueden constituirse en orientadores de estrategias didácticas que tengan como objetivo enseñar estrategias de aprendizaje a los alumnos.

En primer término destaca el principio de "plantear actividades que, debido a su complejidad, requieran por parte de los estudiantes una regulación consciente y deliberada de su conducta, de manera que para realizarlas se vean obligados a planificar previamente su actuación, deban controlar y supervisar lo que están haciendo y pensando mientras lo hacen y les parezca útil evaluar su ejecución cuando la concluyan" (ibid., p. 38).

Acerca de este principio hay que hacer notar dos cosas de suma importancia: la primera de ellas relacionada con los rasgos de formación que debe tener el profesor que pretende ser un mediador para facilitar que los alumnos desarrollen estrategias de aprendizaje. Entre dichos rasgos aparecen dos de manera fundamental: haber desarrollado él mismo estrategias de aprendizaje como condición que le permita tener muy claro el objetivo que pretende lograr con sus estudiantes y, por otra parte, haber desarrollado habilidad para el diseño de experiencias de aprendizaje que tengan potencial para demandar de los alumnos la planificación previa de su acción, el control y supervisión de lo que están haciendo y pensando mientras lo hacen, así como la evaluación de su ejecución.

Lograr que un profesor desarrolle estrategias de aprendizaje y además la habilidad para diseñar experiencias de aprendizaje que tengan potencial para propiciar que los alumnos que tiene a su cargo desarrollen también estrategias de aprendizaje, es una tarea sumamente compleja que implica, quizá, desde una reestructuración de la formación inicial de los docentes, hasta una reorientación de los programas de actualización para docentes en servicio.

Baste para dar idea de la complejidad de esta meta, escuchar a maestros de educación primaria (por citar algunos en especial) que se muestran desconcertados con los nuevos libros de texto gratuito de matemáticas elaborados en México a partir de 1993, que manifiestan no entenderlos ni poder trabajar con ellos porque la lógica de construcción de los mismos ha cambiado; justamente han pasado de una lógica de exposición/ejemplificación/ejercitación, a una lógica de plantear al alumno situaciones problemáticas que surgen de contextos reales y que le demandan planificar su acción, controlar y supervisar lo que hace y piensa, así como evaluar lo que ha obtenido. Para que el alumno logre realizar este tipo de tareas, la intervención del docente tiene que estar orientada precisamente a desarrollar estrategias de aprendizaje, no puede abandonar en el texto la conducción del trabajo del alumno, no puede "entretener al alumno" contestando páginas del mismo, necesita tener una rica interacción con los alumnos antes, durante y después del uso del texto, precisamente para facilitar que las actividades planteadas se aprovechen en todo su potencial en vías no sólo de obtener respuestas correctas, sino de facilitar que los alumnos, mediante esta actividad, a la vez que construyen conocimiento matemático, desarrollen estrategias de aprendizaje.

Es de suma importancia caer en la cuenta de que, aunque el desarrollo de estrategias de aprendizaje no es recurso exclusivo de quien pretende enseñar a resolver problemas matemáticos, el tipo de actividades que se recomienda plantear a los estudiantes, según el principio que ahora se analiza, son precisamente coincidentes con lo que diversos autores, mencionados en el primer apartado de este trabajo, han señalado como tareas clave para la resolución de problemas matemáticos, a saber: planeación, control, supervisión y evaluación, todas ellas realizadas no por un agente externo, sino por el propio individuo que resuelve el problema en cuestión.

Una reflexión más acerca de lo que se señala en el primer principio mencionado, da cabida a cuestionar que sea la complejidad de las actividades por sí misma la que posibilite que se realicen tareas que contribuyan al desarrollo de estrategias de aprendizaje; es necesario tomar en cuenta también que existen grados y formas de complejidad que, lejos de facilitar el desarrollo de actividades como las que se han venido señalando, paralizan todo intento de acción y de búsqueda por parte de los estudiantes.

Así, es importante complementar dicho principio proponiendo que no sólo se hable de plantear actividades con determinado grado de complejidad, sino que se haga referencia también a la pertinencia de dichas actividades, porque al incluir la característica de pertinencia se estará cuidando que las actividades planteadas para su solución (quizá un problema matemático) se relacionen con lo que el alumno ya sabe, lo cual tiene gran potencial para convertirse en una experiencia que genere aprendizaje significativo; pero además, que tengan un grado de dificultad que vaya de acuerdo con las condiciones alcanzadas por el grupo con base en sus experiencias previas de aprendizaje y, por supuesto, que le demanden ir más allá, haciendo un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental al que ha tenido acceso, para generar el conocimiento condicional mediante el cual podrá responder de manera específica a la actividad que se le propone realizar.

Un segundo principio que se plantea es el de "evitar la enseñanza de técnicas de estudio simples en relación a objetivos concretos, dado que tenderán a aprenderse de forma mecánica..., por el contrario, es importante asegurarse de que el alumno domina diferentes procedimientos de aprendizaje que pueden serle útiles en una situación determinada, que es capaz de escoger de forma razonada los más adecuados y de coordinar su utilización, siempre en función de las condiciones de la actividad que se planea" (ibid.).

Dado que se ha venido haciendo un paralelo entre la enseñanza de estrategias de aprendizaje y la enseñanza de la resolución de problemas, aunque habiendo precisado que el uso de estrategias de aprendizaje responde a la realización de un espectro más amplio de tareas, entre las cuales la resolución de problemas matemáticos supone un caso particular; resulta de interés realizar una especie de transferencia de este principio a las circunstancias y tipos de tareas específicas que supone la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos analizada desde esta perspectiva.

Con base en el segundo principio mencionado, se afirma entonces que se trata de evitar el planteamiento de problemas matemáticos simples que conservan un mismo tipo de estructura y que demandan de manera reiterada y única un determinado tipo de respuesta, lo cual da lugar a que el alumno memorice un pequeño modelo de solución e incluso llegue a afirmar "esos problemas ya me los enseñaron" cuando le plantean alguno del tipo de los ya ejercitados, o que exprese que "esos problemas no se los han enseñado" cuando le plantean cualquier variante en torno a ellos.

Por otra parte, tomar en cuenta el principio al que se viene haciendo referencia, supone también la invitación (y el apoyo respectivo en caso necesario) a los estudiantes para que busquen múltiples formas de encontrar una respuesta para el mismo problema matemático, para que valoren la conveniencia de utilizar especialmente alguna de las que conducen a la respuesta esperada o una combinación de ellas, para que se ejerciten en el análisis de por qué ciertos procedimientos conducen y otros no conducen a la respuesta esperada (aprendizaje a partir del error).

Un principio más se concreta en la propuesta de "enseñar estrategias de aprendizaje en contextos en los que éstas resulten funcionales; es decir, en aquellas situaciones reales en que estas estrategias sean útiles para atender las necesidades académicas y personales que pueda tener un alumno de una edad determinada, que trata con unas materias y materiales determinados y tiene unos problemas vitales peculiares" (ibid.).

Justamente, en la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, ubicada en el marco de la enseñanza de estrategias de aprendizaje, se hace evidente la necesidad de que las situaciones problemáticas que el alumno ha de resolver, se planteen en contextos y situaciones reales de acuerdo con su entorno, su edad y sus experiencias previas de aprendizaje.

En relación con este principio, pueden descubrirse grandes coincidencias con los lineamientos establecidos por la Secretaría de Educación Pública para la enseñanza de las matemáticas en educación básica, los cuales se concretan en el enfoque de los planes y programas de estudio vigentes en México a partir de 1992, en el que se señala que "una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas y que, a partir de las soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas" (sep, 1993:5).

Un principio más de los planteados por Monereo et al. (1998:38) hace referencia a "crear un clima en el aula en el que se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre las distintas maneras como puede aprenderse y pensarse sobre un tema. Un entorno en el que sea posible plantear la enseñanza de estrategias de aprendizaje como un objetivo explícito y directo". Nuevamente, en el documento de la sep antes mencionado, se encuentran señalamientos ampliamente coincidentes con el contenido de este principio; en ellos se señala que "el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de conocimientos. Así, tal proceso es reforzado por la interacción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje de esta disciplina depende en buena medida del diseño de actividades que promuevan la construcción de conceptos, a partir de experiencias concretas, en la interacción con los otros. En esas actividades, las matemáticas serán para el niño herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones problemáticas que se le planeen".

Finalmente, Monereo et al. (1998:38) presentan el principio que sugiere "facilitar la transferencia de las estrategias de aprendizaje utilizadas a otras tareas, materias y, si es posible, a otros contextos, promoviendo referencias explícitas a diferentes situaciones y recordando los aspectos referentes a cuándo y por qué decidimos que es útil una determinada estrategia. El hecho de que una estrategia pueda ser fácilmente aplicada a una nueva situación de aprendizaje es el mejor indicador para evaluar la calidad de su enseñanza".

Analizando este último principio, en términos de enseñar a resolver problemas matemáticos, cabe reflexionar que, aunque es deseable que cada problema a resolver presente situaciones no idénticas a algunas de las ya resueltas, la introducción de variantes en diversos problemas relativos a la misma área temática, necesita ser diseñada con especial atención no sólo en el grado de complejidad de la variación, sino en la relativa similitud que la solución pueda tener con estrategias ya conocidas; de esta manera no sólo se hará un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental que el alumno ya posee, sino que se hará transferencia de estrategias ya utilizadas en situaciones anteriores.

A lo largo de este apartado se ha podido establecer que es posible enseñar estrategias de aprendizaje, en el sentido en que éstas se han venido caracterizando, lo cual permite responder también de manera afirmativa a la pregunta de si es enseñable la resolución de problemas matemáticos. A su vez, se ha hecho notar el paralelismo existente entre los principios orientadores que se derivan del análisis de autores cuya obra se centra en la enseñanza de las estrategias de aprendizaje y los principios que sustentan el enfoque de la enseñanza de las matemáticas, asumido en los planes y programas de educación básica vigentes en México desde 1992.

Los principios en los que se manifiesta la coincidencia antes señalada, que seguramente se habrán reconocido ya como ubicados en una postura constructivista, servirán como marco para el análisis siguiente.

El blanco y negro de algunas estrategias didácticas

Cuando en este trabajo se habla de estrategias didácticas, se hace referencia a las acciones que el profesor realiza y/o promueve que realicen sus alumnos, con la intención específica de que éstas se conviertan en experiencias que posibiliten el aprendizaje. En el mejor de los casos, el diseño de dichas acciones es resultado de una toma de decisiones sustentada en una postura, construida con base en algunos principios teóricos, acerca de cómo propiciar el aprendizaje, así como en el análisis de las características del contenido a aprender y de los sujetos que habrán de lograr el aprendizaje.

En otros casos, se trata de estrategias didácticas que han sido adoptadas por imitación y que se han convertido en rutinas de acción cuya eficacia rara vez es cuestionada.

De cualquier manera, en uno y otro casos, habrá cuestiones valiosas que rescatar y límites que hacer notar en relación con el uso de diversas estrategias didácticas; por ello se emplea la expresión "el blanco y negro" para acentuar los focos del análisis. En razón de que escapa a las posibilidades de extensión de este trabajo hacer el análisis exhaustivo de un gran número de estrategias didácticas, el ejercicio se hará con cuatro de ellas.

a) Enseñar a resolver "problemas tipo"

Esta estrategia consiste en plantear a los alumnos algún problema que combina cierta información, de manera que su solución demanda el uso de algún procedimiento determinado o de una combinación de ellos; digamos por ejemplo, un problema que puede reducirse al planteamiento de una proporción y al cálculo de un término desconocido de la misma.

Una vez que el problema es resuelto, deseablemente en un trabajo conjunto entre el profesor y los alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se propone una serie de nuevos problemas que conservan la misma estructura que el problema inicial, de tal manera que sólo varían los datos y el contexto.

Conservar la misma estructura supone que la información acerca de ciertas variables sigue siendo del mismo tipo, la pregunta que se plantea demanda que dicha información se relacione de la misma manera y se responda a ella utilizando procedimientos similares; por ello se habla de estar trabajando con "problemas tipo".

A favor de una estrategia como ésta, habrá que decir que, reconocer modos de relacionar cierta información en determinadas circunstancias, es un aprendizaje valioso dado que permite la formación de un esquema que podrá ser incorporado como nuevo elemento al bagaje de conocimientos que el estudiante ha construido previamente y que podrá ser utilizado como recurso en nuevas situaciones que compartan, al menos parcialmente, las condiciones presentes en los "problemas tipo" que han sido trabajados; en otras palabras, con esta estrategia didáctica se contribuye al aprendizaje de modos de relación de información y de procedimientos, que pueden ser transferibles a nuevas situaciones.

Sin embargo, cuando se privilegia o se usa de manera exclusiva la estrategia didáctica de enseñar a resolver "problemas tipo", cuando la ejercitación en los mismos ocurre sin introducir prácticamente ninguna variación, la experiencia puede resultar para el alumno muy similar a la del aprendizaje de un nuevo algoritmo.

En casos como éste, el problema deja de ser tal, en tanto que deja de cumplirse la condición de que para resolverlo, el alumno no disponga de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata; por otra parte, ha dejado de demandarle un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental al que anteriormente ha tenido acceso. Así es como llegan a generarse en los alumnos expresiones como "ese problema no me lo han enseñado", manifestando con frases como ésta una concepción de problema similar a la de un algoritmo y perdiendo de vista el carácter original y constructivo que la solución de un problema demanda.

b) Inducir la reformulación verbal del problema a resolver

Para explicar en qué consiste esta estrategia didáctica, conviene hacer referencia a una idea expuesta por Parra (1991) acerca de que la resolución de un problema pasa por un proceso de reformulación, en el que la persona que resuelve hace una especie de traducción de la situación planteada a un esquema propio de explicación, el cual es punto de partida para iniciar la búsqueda de alguna forma de solución. Se trata de una reformulación que puede interpretar o no, de manera acertada, la situación planteada en el problema y que puede asociarse a la comprensión o a la falta de comprensión del mismo.

La reformulación a la que se hace referencia va más allá de un mero asunto de reformulación del lenguaje verbal con que es planteado el problema en cuestión (pasando quizá de un lenguaje técnico a un lenguaje coloquial), pero en muchos de los casos, se ve facilitada justamente por una atinada reformulación de dicho lenguaje, a la cual se le llamará en lo sucesivo "reformulación verbal".

Así, la estrategia didáctica de inducir la reformulación verbal del problema a resolver, consiste en propiciar que los alumnos (con la asistencia del profesor en la medida que resulte estrictamente necesario) reelaboren el enunciado del problema, utilizando para ello las palabras de uso familiar que les permitan precisar con mayor claridad cuál es la situación planteada en el problema, cuidando, desde luego, que no se modifique con ello su estructura original.

El uso de esta estrategia didáctica se apoya en el supuesto de que la comprensión de la situación planteada en el problema es fundamental para proceder a cualquier intento de solución y de que sólo se puede verbalizar de manera adecuada aquello que se ha comprendido satisfactoriamente.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, hay que señalar que es propiciadora de un primer nivel de análisis que facilita la comprensión del problema en cuestión; que a través de ella se puede salvar la dificultad que el alumno tiene en ocasiones para interpretar los términos que aparecen en el enunciado de un problema; que permite descartar, en su caso, si una solución incorrecta tiene que ver con una inadecuada interpretación del lenguaje en el que está expresado el problema, o con otro tipo de razones y que, en la medida en que los alumnos puedan realizar dicha reformulación sin ayuda del maestro, esta estrategia didáctica permitirá que el alumno desarrolle una estrategia de aprendizaje sumamente valiosa para emprender la resolución de problemas matemáticos.

Sin embargo, es necesario ponderar también algunos riesgos presentes al inducir la reformulación verbal de los problemas a resolver. Sin un seguimiento cuidadoso de la realización de esta tarea, la reelaboración del enunciado puede alterar la estructura original del problema y, por consiguiente, llevar a una solución errónea del mismo. Por otra parte, si la reelaboración trae consigo una constante eliminación del lenguaje técnico o de palabras que obligarían al estudiante a ampliar no sólo su vocabulario, sino también la construcción de significados, esta estrategia puede resultar limitante para el logro de otro tipo de objetivos de aprendizaje que también se propician a través de la resolución de problemas matemáticos.

c) Facilitar por medio de preguntas el análisis del enunciado del problema

En esta estrategia didáctica, el docente asume el papel de constructor de preguntas que faciliten a los alumnos identificar la información contenida de manera explícita o implícita en el enunciado del problema, descartar aquella información que no sea relevante, descubrir si está presente toda la información que sería necesaria para poder resolver el problema y percibir cuáles son las relaciones que pueden establecerse a partir de la información detectada, todo esto como antecedente para idear un plan de resolución del problema.

Las preguntas del docente pueden incluso generar que se recuperen de la memoria algunos conceptos, y en su caso notación simbólica (conocimiento declarativo), involucrados en el planteamiento del problema y que se precise su significado; esto aumentará la probabilidad de que el estudiante elija atinadamente aquellos procedimientos que resulten pertinentes para alcanzar la solución del problema.

Las preguntas, en este caso, se convierten en una especie de andamiaje que apuntalará ese uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental que caracteriza al proceso de generación del conocimiento condicional que es requerido para resolver un problema determinado.

Por supuesto que se trata de preguntas generadoras de análisis y reflexión, no de aquellas cuya respuesta consiste meramente en asentir o disentir de lo planteado por el docente, ni de preguntas que sugieran por sí mismas una respuesta; esto se convierte en condición fundamental de la pertinencia de esta estrategia didáctica. Se requiere que el docente desarrolle habilidad para plantear preguntas como las que se han venido describiendo, que seleccione y analice cuidadosamente los problemas que propondrá a sus alumnos y que pueda establecer en el aula las condiciones para la participación grupal en la reflexión y discusión que demanda el proceso de dar respuesta a este tipo de preguntas.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar la riqueza de la pregunta como mediación que puede facilitar aprendizajes complejos, como es el caso de la resolución de problemas matemáticos; su potencial para apoyar a los alumnos en el descubrimiento de qué tipo de elementos conviene analizar antes de elegir los procedimientos para la resolución de problemas, en otras palabras, para apoyar que aprendan en la acción lo que es difícil aprender por descripción; y desde luego, su intervención para impedir al alumno que de manera inmediata, después de una lectura superficial del problema, se lance a la decisión de cuál o cuáles procedimientos de solución utilizar.

Como contraparte, hay que hacer notar el riesgo de que esta estrategia didáctica se convierta en "necesaria" para el alumno, esto es, que origine en él cierta dependencia intelectual que finalmente le traiga resistencia a un trabajo individual si no cuenta con la asistencia del docente cuando se le proponga resolver problemas matemáticos.

d) Facilitar la explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema

Esta estrategia didáctica consiste en propiciar una especie de "pensamiento en voz alta", ya sea durante la acción o en forma posterior a ésta, que contribuya a que el alumno sea plenamente consciente de las razones por las que va tomando ciertas decisiones y concretándolas en la realización de algún procedimiento con la intención de resolver el problema.

La explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema, se facilita mediante preguntas del tipo ¿cómo se te ocurrió esta forma de solución?, ¿qué pensaste cuando decidiste realizar tal operación?, ¿por qué decidiste este procedimiento y no otro?, ¿qué te ayudó a pensar de esa manera?, ¿qué pasaría si usaras tal procedimiento en lugar del que utilizaste?; o bien mediante solicitudes expresas como: explica a tus compañeros qué fuiste pensando mientras resolvías el problema o, si tú fueras el maestro ¿cómo le explicarías a tu grupo por qué este problema puede resolverse como tú lo resolviste?

El uso de esta estrategia didáctica tiene como propósito propiciar que ocurra lo que se planteó en el referente conceptual de este trabajo: que el alumno llegue a desarrollar un sistema de regulación y lo utilice de manera consciente, reflexiva y eficaz, lo cual permitirá generar ese otro tipo de conocimiento, el condicional, que es la clave para la resolución de problemas.

Pero no sólo eso, la estrategia didáctica en cuestión puede contribuir también a ejercitar en el alumno el retorno reflexivo que, una vez resuelto el problema, le permite evaluar la pertinencia, tanto de la solución en sí, como de los procedimientos utilizados para llegar a ella, pues aun en el caso de haber encontrado la respuesta correcta, conviene que analice, comparta y discuta con sus compañeros y con su maestro, otras alternativas para llegar a la solución esperada.

Realizar un trabajo como el que se propone en el caso de esta estrategia didáctica, demanda no sólo la buena intención del profesor, requiere un ambiente grupal que dé cabida a la reflexión y a la escucha, pues la participación de cada estudiante, y la del docente, necesitan ser cuidadosamente analizadas, atendiendo tanto a la claridad y precisión de la explicación en sí, como a su congruencia con las actividades realizadas durante la solución del problema.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar su potencial de contribución a la formación del pensamiento reflexivo, de la capacidad de argumentar la toma de decisiones, de controlar el sentido de las acciones e incluso de propiciar el desarrollo de habilidades metacognitivas.

Sin embargo, en su utilización habrá que cuidar que todos los alumnos tengan o lleguen a tener una participación en esta reflexión compartida, pues sólo de esa manera se podrá evitar el riesgo de que algunos estudiantes únicamente se acojan a las respuestas de los que usualmente solicitan participar.

Una reflexión final

A partir de una mirada global de las ventajas y riesgos (el blanco y negro) de las cuatro estrategias didácticas analizadas, podría surgir la preocupación de si a través de estas mediaciones, que finalmente son apoyos para ir desarrollando en los alumnos la habilidad para resolver problemas matemáticos, se está impidiendo que surja más espontáneamente el uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental con que cuenta el alumno, para generar ese nuevo tipo de conocimiento (el condicional) que se requiere para llegar a resolver un problema matemático.

Al respecto se puede señalar que, en uno de los apartados de este trabajo, se estableció que el desarrollo de estrategias de aprendizaje, y por lo tanto la resolución de problemas matemáticos, son "enseñables", esto es, pueden ser favorecidos de manera intencional a través de ciertas mediaciones que, en el ámbito del trabajo escolar, se están denominando estrategias didácticas. Otra alternativa sería abandonar a los alumnos a su propio ritmo y esfuerzo hasta que de forma totalmente heurística lograran, en el mejor de los casos, encontrar formas de solución al problema planteado y poco a poco fueran generalizando su uso en otros tipos de problemas.

No obstante el argumento anterior a favor del uso de estrategias didácticas como las que se han presentado en este trabajo, resulta fundamental compartir las siguientes consideraciones:

 

• Cada una de las estrategias didácticas analizadas tiene su función en un momento dado, unas en el primer análisis del problema, otras en el proceso de solución o en el de evaluación de la respuesta; no se trata de que se conviertan en un apoyo permanente, es fundamental que el docente intuya cuándo es conveniente que deje de usarlas con el mismo alumno o grupo de alumnos.

• El objetivo de mayor alcance al usar las estrategias didácticas mencionadas, es que el alumno llegue a internalizarlas como propias, convirtiéndolas en estrategias de aprendizaje que le posibiliten la resolución de problemas matemáticos.

• El uso de estrategias didácticas como las que se han analizado, y en el fondo propuesto por su valor formativo, demanda del docente planeación cuidadosa, tiempo, esfuerzo y creatividad, trabajo con el grupo en pleno y acercamiento con los estudiantes uno a uno; pero los avances que percibirá en los estudiantes apoyados en ellas, sin duda le llevarán a la certeza de que vale la pena ese esfuerzo.

Bibliografía

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Artículo publicado en la revista Educar

Número 15 Educación Artística

http://www.jalisco.gob.mx/srias/educacion/consulta/educar/dirrseed.html