Las
matemáticas en la educación secundaria
¿ Cambio curricular para
que todo siga igual?
SIGNOS
TEORIA Y PRACTICA DE LA EDUCACIÓN AÑO 5 - NÚMERO 13- OCTUBRE DICIEMBRE 1994
ISSN 1131-8600
Josetxu Arrieta
Gallastegui
Muchas personas otorgan a las experiencias que han vivido en sus
largos años de formación como estudiantes una entidad de vivencias atemporales
, ahistóricas , impregnadas de algo tan intangible como la ``eternidad":
si tuvimos que aprender ciertos contenidos y de determinada manera , eso,
y así , tendrán que aprenderlo las futuras generaciones que pasen por las aulas
. Esta creencia , desgraciadamente , está muy generalizada en la comunidad
educativa y , como toda creencia , genera hábitos , rutinas y prejuicios que son
muy difíciles de erradicar , por muchos , y contundentes argumentos de
tipo histórico y pedagógico que se quieran aportar al respecto.
Viene esto a cuento para
aclarar el sesgo escéptico del subtítulo del presente artículo. Escepticismo
que se refuerza por el hecho de que el cambio curricular propuesto
recientemente para el área de nuestro interés, la de Matemáticas en la
Educación Secundaria, concretado en los materiales para la reforma de la
educación obligatoria (MEC, 1992; MEC, 1993) yen el proyecto de ley para la no
obligatoria (Real Decreto 1179/1992), no es ni mucho menos un cambio
insignificante. Al igual que ocurre con la nueva propuesta de currículum de
Matemáticas para la Educación Primaria, que ya tuve ocasión de analizar en un
artículo anterior, publicado en esta misma revista1, la renovación en cuanto a
fundamentación, métodos y contenidos es amplia y profunda y, como es sabido, a
mayor amplitud y profundidad del mismo, más depende de los medios implementados
para su realización, y menos de la validez teórica de la propuesta y de su
difusión.
Como los medios no
parecen aquí y ahora los más adecuados (crisis económica, luego disminuyen los
presupuestos para la actualización científica y didáctica del profesorado),
parece ser que no se van a tener en cuenta las condiciones materiales y
prácticas que van a filtrar el prescrito, especialmente las referidas al
profesorado, a sus condiciones de trabajo y a sus conocimientos, actitudes y
valores, por lo que va a ser inevitablemente interpretado y aplicado desde los
presupuestos teóricos y prácticos previos a la reforma, muchos de ellos, nos
tememos, basados en prejuicios e ideas preconcebidas que van a chocar
frontalmente con las ahora esgrimidas en los nuevos diseños. Y como es el
profesorado en sus aulas el que determina la eficacia del currículum a través
de sus decisiones, conductas, actitudes y procesos cognitivos, al margen de lo
cuidadosamente que haya sido elaborado el currículum prescrito (el sueño de
currícula ``a prueba de profesores" pasó hace tiempo a mejor vida), no
cabe duda de que es muy probable que no aprovechemos la coyuntura de la reforma
para reflexionar sobre el papel de las matemáticas en la educación secundaria y
transformar nuestros discursos y prácticas , al respecto, en el sentido de
mejorar una situación que actualmente se percibe, de manera mayoritaría y por
parte de toda la comunidad educativa, como manifiestamente mejorable.
Ahora bien, tal transformación debe partir del reconocirniento explícito de la
inmensidad de la tarea que hay que abordar de las dificultades que encierra un
propósito en sí mismo paradójico, hecho a menudo olvidado en el ámbito de la
política educativa.
¿Cómo puede transformarse la práctica si los agentes fundamentales del cambio,
el profesorado, son parte del problema a resolver? Pues parece claro, como
esperamos poner de manifiesto con este artículo, que los cambios instructivos
buscados son de tal calibre que, para que tengan éxito, no bastaría con que el
profesorado absorbiera un nuevo cuerpo de conocimientos, sino que debería de
asumir una nueva manera de pensar sobre el conocimiento matemático y una nueva
práctica sobre cómo se enseña. Deben comprender que las matemáticas, además de
un cuerpo riguroso, deductivo y formal de conocimientos recogido en los textos
de nivel universitario, es una actividad humana, con todos los problemas que
conllevan tales actividades: momentos de conjetura, de duda, de aceptación o de
refutación; que ha sido construida a lo largo de siglos de intentos, de
correcciones sucesivas y refinamientos. Deben, asimismo, cultivar estrategias
de resolución de problemas, algunas de ellas muy poco usuales entre los modos
de razonar de la mayoría de las personas adultas. También deben aprender a
tratar al conocimiento como algo que se construye, se prueba y se explora, en
vez de como algo que se absorbe y acumula. Incluso deben ``desaprender"
mucho de lo que conocen, como los métodos de enseñanza o el uso de los
"clásicos" libros de texto que han utilizado durante años.
Con la esperanza de que la reflexión y discusión de las propuestas actuales
pueda favorecer al menos la apertura de visiones y posiciones respecto al
sentido de las matemáticas en la educación secundaria, voy a procurar
desarrollar. en lo que sigue, un análisis de sus fundamentos, contenidos y
métodos, contrastándolos con los hasta ahora vigentes en nuestras prácticas
docentes, para poner de manifiesto, como decía, la amplitud y dificultad de la
tarea con la que nos enfrentamos en estos momentos las personas que nos dedicamos,
de una manera u otra, a la educación matemática. Comenzaré con un breve
análisis de los fundamentos históricos y epistemológicos de los nuevos
programas para continuar con sus fundamentos socio-culturales y
psicopedagógicos.
Fundamentación histórica y epistemológica
En términos prácticos, la educación secundaria, enseñanza media o
bachillerato, encuadrada en un sistema educatívo tal y como hoy lo entendemos,
no tiene más de 150 años de existencia. En nuestro país la Ley Moyano (1857)
organizó la enseñanza secundaria en dos períodos de tres años, introduciendo
como asignatura la Aritmética, en los dos primeros cursos del primer período, y
Aritmética y Álgebra, por un lado, y Geometría y Principios de Trigonometría y
de Geometría Matemática, por otro, en los cursos cuarto y quinto del segundo
ciclo. Ahora bien, conviene tener presente que no es hasta 1880 cuando se
establece, mediante decreto ley, la existencia de, al menos, un Instituto de
Enseñanza Media por provincia, lo que pone de manifiesto el escaso número de
personas que hace unos cien años estudiaban las matemáticas ``clásicas"
(geometría euclídea y la aritmética y el álgebra árabe).
Si retrocedemos unos
siglos más, y nos situamos en tomo al 1500, podremos comprobar la validez de la
hipótesis que afirma que los contenidos escolares, especialmente en nuestra
área, han ido desubicándose progresivamente, pasando de formar parte del
currículum universitario a formar parte del de secundaria y, por último, del de
primaria. Efectivamente, hace unos 500 años, si un rico comerciante alemán
quería proporcionar la mejor educación matemática posible a su hijo y
consultaba al respecto a un profesor de la universidad de su país, éste le
contestaba que si se conformaba con que su hijo aprendiese a sumar y restar,
podía quedarse en su universidad, pero si pretendía aprender a multiplicar y
dividir, debería ir a Italia donde eran más avanzados los estudios en estas
materias (en Bolonia y Padua especialmente, debido a su conocimiento de los
algoritmos árabes a través del Liber Abaci de Leonardo Pisano, Fibonacci). Esto
es, contenidos que actualmente forman parte de nuestra educación primaria
requerían entonces el equivalente de un Master en universidades de prestigio
internacional 3.
Por su parte, si
analizamos lo ocurrido con los contenidos actuales de la secundaria, como el
cálculo o la estadística y la probabilidad, podemos apreciar cómo se ve
confirmada la citada hipótesis. Los conceptos del cálculo diferencial e
integral se introdujeron en la educación secundaria a comienzos del presente
siglo, aunque únicamente en los centros más elitistas, como los que preparaban
el acceso a las grandes escuelas politécnicas francesas. De manera generalizada
no se introdujeron en los currícula de matemáticas de la enseñanza media hasta
hace unos 50 años, y ello en los países más desarrollados. Así, en Francia, el
primer plan de estudios que citó el término límite con respecto a la derivada
lo hizo en 1947, aunque no fue sino en 1966 cuando se introdujo el concepto de
manera apropiada. Previamente, en la primera mitad del siglo, los textos
matemáticos franceses utilizaban la noción de límite de manera intuitiva, sin
recurrir a una definición formal, en términos de epsilon-delta, para introducir
el concepto de derivada (esto último sigue siendo la norma en Inglaterra, donde
no es sino en la universidad donde se aborda la definición formal de límite
Mientras, en nuestro
país, conviene recordar que hace sólo 200 años se podían contar con los dedos
de la mano el número de personas que manejaban los conceptos del cálculo con
facilidad (entre ellos el asturiano Agustín de Pedrayes) y que no es hasta
1934, con el nuevo bachillerato de 7 cursos de la República, cuando se
introduce el estudio del Análisis (el número real, límites y continuidad de
funciones) en sexto curso, continuándose su estudio en séptimo. Sin embargo, en
los inmediatos y posteriores planes de la educación secundaria franquista (los
del 38, elaborados por Sainz Rodríguez), se vuelve al esquema ``clásico",
estudiándose a lo largo de sus siete cursos, de manera cíclica, la Aritmética,
la Geometría y el Álgebra y la Trigonometría, desapareciendo por tanto el
cálculo del bachillerato. En 1953 se constituyen los Bachilleratos Superiores
de Letras y Ciencias, de dos cursos de duración, y se reintroduce de nuevo,
aunque sólo en el de ciencias. Por tanto, podemos afirmar que es en 1975, hace
sólo 20 años y tras la aprobación de la Ley General de Educación, cuando se
considera que todos los estudiantes del BUP deben aprender los conceptos
básicos del cálculo, en el segundo curso (sucesiones y límites de sucesiones,
funciones reales de variable real, límites y continuidad, funciones circulares,
exponencial y logarítmica, derivadas y primitivas) y tercer curso (cálculo
diferencial e integral) de dicho bachillerato.
Respecto a la Estadística
y al Cálculo de Probabilidades, bastará con recordar que en el panorama
internacional no se introdujeron dichos temas en la educación secundaria hasta
la década de los 70, lo que no es de extrañar, pues el conjunto de
conocimientos sobre las probabilidades no se axiomatiza hasta los años 20 de
nuestro siglo, convirtiéndose de esta manera en ``objeto de saber
matemático"; superando su papel anterior de mero "instrumento"
para la resolución de problemas probabilísticos; y todo ello sólo 50 años antes
de convertirse en ``conocimiento a enseñar" en la educación secundaria. En
los EEUU, por poner un ejemplo, hace una generación, los estudiantes no
abordaban ninguna idea de probabilidad y el único concepto estadístico que
estudiaban era el de media aritmética. Todavía en 1959 un informe nacional
norteamericano recomendaba únicamente un curso opcional de probabilidad y
estadística para los que cursaban el último curso de la educación
preuniversitaria (equivalente a nuestro cuarto curso de la secundaria actual),
pero, lo que son las cosas, sólo 16 años más tarde, en 1975, ya se recomendaba
que la estadística se enseñase en todos los niveles de la enseñanza, desde la
primaria (como se plantea en nuestros Diseños Curriculares Base)5.
Estos ejemplos nos bastan
para corroborar la hipótesis citada, así como para poner de manifiesto que la
universidad ejerce, como siempre ha ejercido, una influencia determinante sobre
las restantes instituciones escolares. No hay que olvidar que, como recordaba
Lerena (1985), todos los rasgos o elementos que aparecen asociados al proceso
de institucionalización de la práctica educativa, incluyendo los exámenes y
diplomas, ``están reconocidos y son regulados en las segunda de las Partidas alfonsinas
(circa 1260-1265)" y que, ``en definitiva, el sistema de enseñanza que
conocemos es refrendado jurídicamente ya a mitad del siglo trece" 6~
Influencia que se refiere no sólo a los contenidos que hay que impartir, sino
especialmente a los métodos de enseñanza utilizados en los niveles no
universitarios , deudores, en gran medida, de las prácticas imperantes al
respecto en la universidad. A su vez, dichos métodos pedagógicos reflejan,
aunque de manera no lineal, las concepciones epistemológicas dominantes en la
institución universitaria sobre el carácter del conocimiento matemático,
concepciones que fueron trazadas en los años 40 por el grupo Bourbaki y que han
determinado el llamado movimiento de las ``matemáticas modernas", cuya
historia en nuestro país paso brevemente a caracterizar a continuación.
Como es sabido, a
comienzos de la década de los 60, y ante el shock que supuso el lanzamiento del
primer Sputnik por la entonces Unión de Repúblicas Socialistas y Soviéticas, se
produjo una reforma radical en los currícula de los EEUU. Dicha reforma tuvo un
enorme impacto en nuestro sistema educativo, aunque con algunos años de
retraso, concretándose en la Ley General de Educación de 1970. En la
orientación de la reforma también tuvieron una gran influencia las discusiones
y recomendaciones de organizaciones como la OCDE (Organización para la
Cooperación y el Desarrollo Económico), que iban en la línea de considerar a la
educación no meramente como una manera de cultivar la personalidad, sino, al
igual que el capital y el trabajo, como un factor crucial de producción,
determinante para el futuro económico y social de los distintos países Y ello a
pesar de los cánticos y loas que subyacían en dicha ley a concepciones
educativas opusdeístas, que la entendían como el ``desarrollo intencional de
las potencias específicamente humanas" (García Hoz, 1970).
Mientras que la OCDE
presionaba para mejorar la cualificación de los futuros usuarios de las
matemáticas, los matemáticos universitarios españoles, dirigidos por D. Pedro
Abellanas, catedrático de Geometría de la Facultad de Ciencias de la
Universidad Complutense de Madrid y recurriendo a la Revista de Enseñanza Media
como instrumento de difusión de sus ideas, consideraron de importancia crucial,
ya a comienzos de la década de los 60, el unir el puente que separaba la
matemática pre-universitaria de la universitaria. Como resultado de todo ello
la educación matemática resultó decididamente influenciada por el
estructuralismo bourbakista, el cual se había convertido en el modelo dominante
de las matemáticas universitarias, hasta el punto de excluir radicalmente a
cualquier otra visión de las matemáticas como disciplina. Los reformadores de
la época propusieron una revisión del currículum matemático enfatizando el enfoque
conjuntista y las estructuras algebraicas y lógicas en la educación general
básica para, más adelante, en la educación secundaria, reconstruir el cálculo,
mediante una extensiva formalización, y reconvertir la geometría analítica en
álgebra lineal. Las llamadas, por aquel entonces, ``matemáticas modernas",
o ``nueva matemática", adoptaron muchas características de las matemáticas
puras enseñadas a nivel universitario. Los libros de texto de cálculo o álgebra
lineal se parecían, y aún hoy se parecen, en gran medida, a los textos
universitarios, tanto en su contenido como en su secuenciación y en su
lenguaje.
El actual profesorado de
matemáticas de secundaria, formado en su mayoría en la década de los 70, ha
asumido, como no podía ser de otra manera, la visión epistemológica de las
matemáticas del bourbakismo. Esto es, ha asumido el formalismo como concepción
epistemológica, pues no hay que olvidar que los miembros del grupo Bourbaki se
consideraban a sí mismos herederos de Hilbert, padre del formalismo matemático.
La tesis central de la escuela formalista viene a decir que las matemáticas es
la ciencia de los sistemas formales: que se ocupa de la manipulación de cadenas
de símbolos, a los cuales no es preciso asignarles ninguna significación, y que
basa la validez de las proposiciones matemáticas en la habilidad para demostrar
su verdad a través de pruebas rigurosas, enmarcadas en un sistema formal
apropiado. Al igual que las otras dos escuelas de filosofía de las matemáticas
que se desarrollaron a comienzos de siglo, la logicista y la intuicionista, de
las que discrepa en otros aspectos que asigna una importancia extrema a las
pruebas y demostraciones formales, a la deducción.
Estas concepciones,
empeñadas en la búsqueda de la fundamentación última del conocimiento
matemático, a través de su disolución en pura lógica (logicismo), en
construcciones de naturaleza finita (constructivismo) o en un mero formalismo,
olvidan que la aceptación de un teorema por la comunidad matemática se realiza
mediante un proceso social que depende más de la comprensión y significación
del mismo que del rigor de la prueba, y que la presencia de ésta, rigurosa o
no, es sólo uno de los elementos determinantes para su aceptación. De hecho, de
los aproximadamente 200.000 teoremas publicados anualmente en las revistas de
matemáticas, únicamente unos pocos son aceptados por la comunidad matemática,
siendo estos teoremas, los juzgados como interesantes, los que se analizan
rigurosamente en términos formales, por lo que se les escruta, se corrigen y se
refinan, mientras que las pruebas del resto de los teoremas quedan sin
examinar. Es más, según un importante editor del Matbematical Revíew, casi la
mitad de las pruebas publicadas en su revista son falsas, aunque el sentido de
los teoremas a probar sea esencialmente cierto7. Cuando se detecta un error en
la demostración de un teorema significativo lo que se cambia habitualmente es
la prueba, permaneciendo inalterable e incuestionado el propio teorema.
El papel de las pruebas
en el proceso de su aceptación es similar al que juegan en el proceso de su
descubrimiento. Las ideas matemáticas se descubren a través de un acto de
creación en el cual la lógica formal no está directamente implicada. No son
deducidas o derivadas, sino desarrolladas mediante un proceso en el que tanto
su significación para el cuerpo de conocimientos matemáticos como su potencial
futuro para dicho campo es reconocido en base a intuiciones informales. Aunque
la prueba se considere como un prerrequisito para la publicación de un teorema,
no necesita ser ni rigurosa ni completa, puesto que la transmisión oolítica de
sus ideas, de manera que la hagan inteligible y convincente, EMIL RUDER es de
mucha mayor importancia que su adecuación formal. Y esto nos permite concluir
afirmando que una orientación epistemológica hacia un extremo formalismo no
refleja adecuadamente las actuales prácticas de los matemáticos ni las actuales
filosofías y epistemologías de las matemáticas.
De hecho, es en la década
de los 70, con la aparición de la obra seminal de LAKATOS (1978), Pruebas y
refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático, cuando comienza a cobrar
fuerza lo que se ha denominado como ``tradición disidente" en la
epistemología de las matemáticas (ERNEST, 1994). Lakatos fue contundente en sus
ataques al formalismo, tanto epistemológicamente (``Las matemáticas se
presentan como un conjunto siempre creciente de verdades eternas e inmutables,
en el que no pueden entrar los contraejemplos, las refutaciones o la crítica.
El tema de estudio se recubre de un aire autoritario,... al suprimir la
conjetura original, las refutaciones y la crítica de la prueba. El estilo
deductivista esconde la lucha y oculta la aventura. Toda la historia se
desvanece, las sucesivas formulaciones tentativas del teorema a lo largo del
procedimiento probatorio se condenan al olvido, mientras que el resultado final
se exalta al estado de infabilidad"), como didácticamente (``... aún no se
ha constatado suficientemente que la educación matemática y científica actual es
un semillero de autoritarismo, siendo el peor enemigo del pensamiento crítico e
independiente. Mientras que en matemáticas este autoritarismo sigue el patrón
deductivista, en la ciencia opera mediante el patrón inductivista")8.
Desde entonces, distintas
posiciones encuadradas en dicha ``tradición disidente" vienen destacando y
compartiendo un buen número de asunciones e implicaciones opuestas a las
asumidas por las escuelas de filosofía de las matemáticas de comienzos de
siglo, así como por la bourbakista. Entienden a las matemáticas como el
producto de procesos sociales, cuyos gérmenes inmediatos son las técnicas9, y
comprenden su falibilidad y el hecho de que estén continuamente sometidas a
revisión, tanto en términos de sus pruebas o demostraciones (por ejemplo, ¿son
válidas las demostraciones realizadas con ayuda del ordenador?, ¿o las que han
sido realizadas por miles de personas colaborando y que nadie personalmente
puede revisar a lo largo de una vida?10), como en sus conceptos. Rechazan la
visión estructural de las matemáticas con su jerarquía única, rígida y
permanente, destacando la importancia de la perspectiva subjetual-personal,
indisociable de las figuras pragmáticas (normas, dialogismos y autologismos)
propias de la ciencia matemática. Reconocen, por tanto, su significado social y
el hecho de estar impregnada de valores, por lo que se encuentran en
consonancia con las concepciones educativas que fomentan el análisis crítico a
la hora de evaluar sus propios usos sociales.
Estas nuevas y recientes
visiones epistemológicas de las matemáticas generan principios pedagógicos, de
índole constructivista y social, claramente diferenciados de los principios
asumidos por las filosofías prescriptivas de las matemáticas (el logicismo y el
formalismo), las cuales justifican un enfoque meramente transmisivo de dicha
ciencia, poniendo el énfasis en la eficacia a la hora de comunicar sus
contenidos con una impecable dicción. Principios como los de ``respetar los
significados y los conocimientos previos de los aprendices", ``favorecer
la construcción de las nuevas nociones en base a los métodos utilizados por los
propios estudiantes", ``negociando la validez de los conocimientos
construidos", o el de ``defender la inseparabilidad de las matemáticas de
sus aplicaciones", que pretenden asumirse en la actualidad en el Diseño
Cunicular Base (al afirmar explícitamente, entre otras cosas, que ``las
matemáticas evolucionan continuamente", que en ellas se utiliza el
razonamiento empírico" y que ``la deducción formal aparece en una fase
posterior", al enfatizar ``su carácter constructivo" y ``el hecho de
estar relacionadas con otros conocimientos", etc. ..) y que, como veremos,
están en plena sintonía con los defendidos desde las posiciones
psicopedagógicas que explicaremos más adelante.
Fundamentación
socio-cultural
Desde un punto de vista
sociológico, las universidades, y posteriormente las escuelas, colegios e
institutos, tienen como primera y fundamental tarea la de definir la cultura
legítima, para imponer socialmente su legitimidad, y no tanto su contenido, e
inculcarla en sectores de la población: el 100% en la educación obligatoria y
porcentajes paulatinamente inferiores en la secundaria postobligatoria y en la
universitaria. Pues bien, desde la primera fase de institucionalización de la
escuela, cuando se especializan los agentes, cobrando por su trabajo e
instaurando modos homogéneos y acumulativos de inculcación, esto es, desde el
mundo grecorromano, las matemáticas se han considerado como cultura legítima
(el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música), y como
conocimiento de alto status.
Es por ello que, desde su
origen, ha tenido un carácter elitista: basta con recordar el secretismo con
que los pitagóricos trataban a sus descubrimientos, guardandolos celosamente
para los integrantes más destacados de su secta, los mathematiko, o la
distinción platónica entre matemáticas prácticas, sin valor intelectual, propia
de los artesanos, y la matemática teórica y racional, estudiada por los
filósofos en su Academia (``que no entre nadie que no sepa geometría").
También se puede recordar cómo en la edad Media los monjes calculistas se
opusieron a la divulgación de los algoritmos árabes con el argumento de que
``al ser tan fácil, tan ingenioso, el cálculo de los árabes debía de tener algo
mágico, incluso algo demoníaco: sólo podía proceder del mismísimo Satanás en
persona"11.
Situándonos a comienzos
de nuestro siglo podemos apreciar cómo se constituye, definitivamente, en
instrumento de selección y orientación de las personas (sustituyendo al latín
en este sentido), de la mano de los medidores mentales que construyeron los
primeros tests, en los que el razonamiento lógico y matemático jugaba un papel
central. El primero de ellos, Galton, además de introducir la idea de que la
inteligencia se distribuía en función a la ley de desviación con respecto a la
media, o distribución normal, acuñó el término de eugenesia para referirse a la
idea de que los incompetentes, enfermizos y desesperados constituían una
amenaza para la sociedad, por lo que había que impedirles procrear. Esta
aberración tomó cuerpo en forma de leyes y, en 1898, Estados como el de
Michigan promulgaron decretos de esterilización eugenésica que disponían la
castración de todos los internados en el Asilo para Débiles Mentales y
Epilépticos (entre 1909 y 1928, veintiún Estados promulgaron este tipo de
leyes). En este contexto ideológico, Terman publicó en 1916 el primer test de
CI, basado en el del médico francés Binet, manifestando clarísimamente la
función social que debía de jugar: ``.. .todos los débiles mentales son, al
menos, criminales potenciales. Difícilmente discutirá nadie el hecho de que
cada mujer afecta de debilidad mental es una prostituta en potencia... en un
cercano futuro los tests de inteligencia pondrán a decenas de miles de estos
seres profundamente defectuosos bajo la vigilancia y protección de la
sociedad"12.
Terman fue también el
primero en introducir el problema de las razas en el debate sobre el CI,
afirmando que la deficiencia mental ``resultaba muy frecuente entre las
familias hispano-indias y mexicanas del sudoeste y también entre los negros. Su
embotamiento parece ser de origen racial, por lo que recomendaba que los niños
de este grupo sean segregados en clases especiales... porque no son capaces de
dominar abstracciones, pero frecuentemente se pueden obtener de ellos
excelentes trabajadores. ``Como es sabido, un argumento muy similar al
sostenido hasta la década de los 30 por las personas que pretendían excluir del
estudio de las matemáticas a las mujeres. Por último, Thorndike, el padre de la
psicología asociacionista y la mayor autoridad en su época en el campo de la
psicología de la educación matemática, apuntalaba estas tesis de forma
escalofriante: ``para gran suerte de la humanidad, existe una correlación
positiva sustancial entre inteligencia y moralidad, incluyendo la buena
voluntad hacia el prójimo. Consecuentemente, quienes nos aventajan en capacidad
son, en conjunto, nuestros benefactores, y es a menudo más seguro confiarles nuestros
intereses que manejarlos nosotros mismos".
Cambiando el contexto
histórico y geográfico, nos podemos acercar a nuestra comunidad y a nuestros
días. En las pruebas de selectividad para el acceso a la Universidad de Oviedo
realizadas el pasado mes de junio, de los 3.433 estudiantes que, habiendo
superado el COU, se presentaron al examen de Matemáticas I, únicamente 1.109,
el 32,3% del total, fueron declarados como aptos. Por tanto, un 67,7% de los
mejores estudiantes egresados de nuestro sistema educativo preuniversitario
fracasaron en dicho examen (con diferencia y como suele ser habitual, la
asignatura en la que más suspensos hubo). De ellos, además, casi un 30% obtuvo
una puntuación inferior a 3 (sobre 10) en la misma prueba de acceso, con las consabidas
repercusiones a la hora de fijar la nota media final, decisiva para poder optar
al acceso en determinadas carreras universitarias. Una prueba más (aunque no
parecen que hagan mucha falta, pues se suele admitir este hecho como un dato,
como algo ``natural", sin reflexionar sobre su por qué) de la utilización
de las matemáticas como instrumento de selección y orientación del alumnado.
Las matemáticas comparten
las características cognoscitivas y culturales de los saberes de alto status:
son sabe-res de tipo alfabético, que descansan en una tradición erudita y
libresca y que dan prioridad al individualismo intelectual; son abstractos y
obedecen a una lógica de estructuración independiente de la experiencia
subjetiva de los sujetos, por lo que vuelven la espalda a la vida cotidiana, a
la experiencia corriente. Todas estas características, unidas al hecho de ser
un conocimiento discreto, con un contenido identificable y una estructura
estable, la convierten en un instrumento utilísimo para una evaluación ``supuestamente
objetiva". Y digo supuestamente porque, al igual que han sido considerados
como no aptas casi un 70% de las personas presentadas en las pruebas de acceso
citadas, lo podrían haber sido el 99o el 1 %, en función de las preguntas y los
problemas planteados.
Un debate al respecto
(similar al que se realizó hace dos años en el ámbito de la enseñanza
universitaria, a través de la publicación en el suplemento de Educación de El
País de más de cinco artículos en respuesta a la denuncia de un amplio grupo de
Catedráticos y Titulares de Universidad que afirmaban que es bastante patente
la conversión de ciertas materias, como las matemáticas, en barreras
artificiales cuyo único objetivo parece ser el de establecer un mecanismo, con
apariencia neutra y objetiva, para la eliminación de personas13), debería
ayudar a profundizar en las razones por las que se considera como
``natural" que exista una mayor fracaso en nuestra área que en otras.
Preguntas como: ¿puede una matemática para ``todos" ser similar, en contenidos
y métodos, a una matemática para ``algunos"? ¿es selectiva porque se
enseña mal o se enseña mal para que sea selectiva? ¿es selectiva porque es
difícil o se hace arbitrariamente difícil para que sea selectiva?
¿seleccionamos exclusivamente en base al conocimiento de algoritmos o tenemos
en consideración otros aspectos? podrían dar lugar a una discusión de
gran valor teóricopráctico sobre las matemáticas, la evaluación y la función
social de la educación secundaria.
Otra idea que hay que considerar
cuando se habla de la fundamentación socio-cultural de las matemáticas en
secundaria es el de la incidencia en los contenidos de los cambios informativos
y tecnológicos, experimentados a ritmo de vértigo en nuestra sociedad. Por un
lado, los medios de comunicación han popularizado de tal manera el uso de
ciertas ideas y recursos matemáticos (proporciones, tablas y gráficos
estadísticos, grandes números, etc...) que han convertido a contenidos hasta
hace poco estudiados por una minoría de personas, en componentes básicos de una
alfabetización matemática. De ahí su inclusión en los currícula desde la
educación primaria y ello a pesar de su reciente construcción (recuérdese que
algo tan difundido como los diagramas de barras tiene apenas 200 años de existencia).
Por otro lado, los
potentes instrumentos gráficos y de cálculo (calculadoras gráficas y
ordenadores) están provocando un replanteamiento en los objetivos de la
enseñanza de las áreas básicas de las matemáticas en la educación secundaria.
Tanto el álgebra como el cálculo, la geometría, la estadística y las
probabilidades deben acomodarse a una nueva realidad: la resolución de la
mayoría de los problemas que aparecen en los libros de texto es trivial si se
conoce el uso de dichos instrumentos.
Y como no parece que sea
cuestión de esconder la cabeza (como se sigue haciendo en la educación primaria
con la simple calculadora de cuatro operaciones, que no se usa porque el
profesorado, en general, tiene miedo a introducirla en sus aulas dado que si lo
hacen no saben qué enseñar), habrá que ir pensando qué conocimiento
algebraicos, de análisis o de estadística y cálculo de probabilidades siguen
teniendo sentido y cuáles no.
Al igual que nosotros
utilizamos el álgebra para resolver problemas que los griegos resolvían de
manera gráfica y geométrica (métodos que la mayoría no hemos estudiado), es más
que probable que las futuras generaciones aprendan a utilizar las nuevas
tecnologías para resolver nuestros problemas algebraicos, y nunca aprendan cómo
utilizamos nosotros el álgebra. Piénsese, por poner un ejemplo, que en las
actuales calculadoras gráficas existe una tecla que resuelve cualquier tipo de
ecuaciones aritméticamente, mediante métodos de aproximación sucesivos
escondidos al usuario. Por ello, el estudiante que dispone de dicha calculadora
y quiere resolver una ecuación cuadrática con una aproximación hasta las
milésimas, no necesita conocer la fórmula; al igual que no necesita conocer las
funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones trigonométricas,
etc... Parece claro que los aspectos relacionados con las destrezas mecánicas,
de ejecución de fórmulas y algoritmos, deben de ir dejándose en manos de las
máquinas (para eso están), centrándonos más en los referidos al uso de los
conceptos, sus representaciones y propiedades, sus significados. Las
calculadoras gráficas y el software educativo, para enseñar de otra manera y
con otras finalidades los contenidos básicos de las matemáticas en la educación
secundaria, ya están ahíi', sólo hace falta sacar provecho de las múltiples, e
incluso contradictorias opciones que ofrecen para facilitar su aprendizaje.
Fundamentación
psicopedagógica
Como hemos visto, lo que
se nos propone al profesorado es que trabajemos con nuevos contenidos
matemáticos, conceptualizados de manera no formal, con diferentes instrumentos,
calculadoras y ordenadores, y con distintas finalidades, educativas y no
selectivas. Y por si esto fuera poco, se nos dice, además, que debemos
enseñarlos, y el estudiantado aprenderlos de otras maneras. Los principios
psicopedagógicos de intervención educativa que subyacen al Diseño Curricular
Base,tanto a nivel general como en el área de matemáticas,se enmarcan en la
concepción constructivista del aprendizaje escolar y de la intervención pedagógica,
que ha sido difundida en nuestro país por el actual Director General de
Renovación Pedagógica, César Coll. Tales principios, comunes para la educación
primaria y secundaria obligatoria, pueden resumirse en las siguientes ideas: es
preciso partir de los conocimientos previos y del nivel de desarrollo del
alumnado, asegurando aprendizajes significativos, posibilitando que los
realicen por sí tnisinos, mediante una modificación de sus esquemas de
conocimiento, y a través de la realización de una intensa actividad por su
parte.
Veamos con un ejemplo paradigmático, por ocupar un lugar central en el
razonamiento matemático avanzado, cómo, en la actualidad, los métodos de
enseñar y aprender sus conceptos no se caracterizan precisamente por adecuarse
a tales criterios. La enseñanza de la idea de límite de una sucesión de números
reales se suele abordar en la actualidad en 2°de B.U.P. Tras estudiar las
estructuras de anillo y de espacio vectorial del conjunto S de las sucesiones
de números reales, se presenta la idea intuitiva de límite de una sucesión ,con
los consabidos ejemplos (1/n, - 0,3, 0,33,0,333. . .-) y se define
rigurosamente: la sucesión al, a2, a3, ..., tiene el límite a, cuando n tiende
a infinito, si para todo número positivo e, por pequeño que sea, existe un
entero N, tal que I a-a„ I < e para todo n >_ N. Como dicen Counant y
Robbins (1976),"no es de extrañar que cuando se encuentra por primera vez
no sea posible captarla inmediatamente en toda su profundidad. Algunos autores
adoptan una actitud poco feliz, presentando esta definición al lector sin una
preparación adecuada,como si dar una explicación no resultara muy
honroso para la dignidad de un matemático"
De forma intuitiva resulta relativamente fácil comprender el concepto de límite
y el de convergencia, pero el problema es que no podemos pasar directamente de
la representación intuitiva del concepto a la definición rigurosa y formal.
Esta última invierte el orden de las ideas, contradiciendo la representación
dinámica y natural del proceso: comienza mencionando, de manera bastante
extraña, un número positivo e, tan pequeño como se quiera, para introducir
después a N y a n > N. De esta manera no es e el que depende de N (como
ocurre en la realidad, dado que el intervalo I a,, a I se va haciendo más
pequeño conforme va aumentando el valor de N), sino que, en la definición
formal, hacemos que N dependa de e, invirtiendo el orden natural del
pensamiento intuitivo. De hecho, aunque en las definiciones actuales se
erradique la idea de ``tender a infinito", recurriendo a la definición
previa de una sucesión como una aplicación de N* en R, intuitivamente se sigue
pensando en dichos términos, que expresan un hecho más psicológico (tender a,
estar inclinado a, con connotaciones de deseo o aspiración), que matemático.
Esto es, intuitivamente recurrimos a la idea de infinito potencial, mucho más
aceptable para los no matemáticos que la de infinito actual (no olvidemos que
esta última sólo cuenta con unos 100 años de existencia)16. De hecho, como muchos
conceptos científicos, el de límite es contradictorio, porque nuestro
pensamiento no está naturalmente adaptado a la concepción del infinito actual,
a hechos como que haya tantos números naturales como pares o como enteros y
racionales, esto es, a las paradojas del infinito.
La relación conflictiva
existente entre la definición formal y la representación intuitiva del concepto
genera diversos obstáculos psicológicos (con sus correlatos obstáculos
epistemológicos en el desarrollo histórico del concepto), que los métodos de
enseñanza al uso no consiguen solventar. En ellos, como se puede apreciar en
los libros de texto, verdaderos artífices de dichos métodos, no se parte de las
nociones previas e intuitivas del estudiantado, ni se les implica en una intensa
actividad, por lo que no se logra un aprendizaje significativo ni se modifican
sus esquemas de conocimiento, de ahí que muchos de ellos sigan pensando que la
sucesión 1, 1, 1, ... no converge a ningún límite o que la sucesión 0,3, 0,33,
0,333.... tiende pero no es igual a 1/3, puesto que piensan que una sucesión
nunca alcanza el límite, sino que tiende a él pero nunca llega, o que una
sucesión debe ser siempre o monótona creciente o decreciente, por lo que, por
ejemplo, la sucesión an=1+(-1)n/n no tiende a ningún límite, etc...
Ahora bien, si nosotros
mismos hemos aprendido los contenidos disciplinares en un contexto formal,
totalmente alejado de su utilización para interpretar y transformar la
realidad, difícilmente podremos realizar la necesaria trasposición didáctica
que ahora se nos exige. Dicha trasposición y la puesta en práctica de los
principios psicopedagógicos citados, implica el estudio de las matemáticas en
términos mucho más filosóficos, epistemológicos, históricos, sociológicos y
psicológicos que los que caracterizan la formación que hemos recibido, aunque
sólo sea porque a través de la enseñanza no nos planteamos desarrollar la
lógica interna de las disciplinas, sino que las utilizamos como un elemento más
del proceso didáctico y educativo. En éste, toda disciplina se falsifica en
cierta medida, por lo que resulta imprescindible recurrir al conocimiento de su
papel en el desarrollo histórico y en la sociedad actual, su construcción desde
un punto de vista tanto filogenético como ontogenético, las formas de
razonamiento que promueve y las que no, sus posibilidades y limitaciones para
interpretar e incidir sobre la realidad, etc..., que nos ayude a minimizar
dicha falsificación.
Aspectos, todos ellos,
que se siguen considerado, por parte de una universidad en general y unas
facultades de Matemáticas en particular (que no han asumido realmente el
problema de la formación y el perfeccionamiento del profesorado y que siguen
manteniendo la ficción de que todo licenciado en una disciplina puede asumir labores
docentes superando un ridículo CAP), como simple barniz cultural y no como
conocimientos que, ineludiblemente, todo docente debe desarrollar a lo largo de
su vida profesional para comprender y perfeccionar su propio trabajo. Por ello
no es de extrañar que lo que predomine sea una actitud de inmovilismo, de
rechazo a todo cambio, de miedo.
Miedo a lo desconocido si
se abandonan los modelos tradicionales de enseñar la pulcra presentación de
definiciones, teoremas, pruebas y aplicaciones al más puro estilo deductivista.
Miedo al mayor tiempo que se requiere para lograr aprendizajes significativos,
por lo que se piensa que no se tiene el suficiente para completar el temario,
como si éste no se pudiese. racionalizar evitando convertirlo en el de un
minicurso universitario y transformando las pruebas de selección que mediatizan
la educación postobligatoria. Miedo a que los niveles desciendan, como si los
que se consiguen en la actualidad fuesen satisfactorios en algún sentido.
Miedos, en definitiva, que sólo se pueden superar reconociendo de entrada la
magnitud y dificultad de la tarea a abordar y desarrollando, a continuación,
sin prisas pero sin pausas, un proceso colectivo de transformación de nuestros
discursos y prácticas educativas conforme reivindicamos las condiciones
favorables para ponerlo en práctica.
Josetxu Arrieta
Gallastegui es
profesor titular de Didáctica del Departamento Ciencias de la Educación de la
Universidad de Oviedo
Notas
(1)Ver ARRIETA,J. (1993):
``¿Qué fue de la matemática moderna ?Análisis didáctico del Diseño Curricular
Base de Matemáticas". En Signos, 8-9, pp. 94-101.
(2)Estos datos
históricos, junto con un detallado análisis sobre la educación matemática en
nuestro país en el presente siglo pueden encontrarse en KILPATRICK, J., RICO,
L. y SIERRA, M. (1994): Educación Matemática e investigación. Síntesis, Madrid.
(3)Historia citada en
IFRAH (1987): Las cifras. Historia de una gran invención. Alianza, Madrid, p.
287.
(4)En CORNU (1991) o
ARTIGUE (1991) se pueden encontrar excelentes reflexiones, no sólo de tipo
histórico, sino de orden psicológico o didáctico, sobre la enseñanza del
análisis matemático.
(5)Ver USISKIN (1994), p.
316.
(6) LERENA (1985):
Materiales de sociología de la educación y de la cultura. Grupo Cultural Zero,
Madrid, 1985, p. 29.
(7)Ver HANNA (1994), p.
59.
(8)LAKATOS (1978), p.
166.
(9)Para una adecuada y
profunda comprensión de esta idea, que viene a mostrar la validez actual de
algunas tesis marxistas, así como de algunos conceptos que utilizo más
adelante, véase BUENO, G. (1992): Teoría del cierre categorial. Vol. 1.
Pentalfa, Oviedo.
(10)Un reciente ejemplo
de ello lo tenemos en la búsqueda de los factores primos del número de 129
dígitos RSA-129, caso analizado comentado en el especial de Ciencia, técnica e
informática del diario El País de fecha 13-04-94.
(11)IFRAH (1987), p297.
(12)Estas citas, y las
dos siguientes, están recogidas de BUENO, G. HIDALGO, A. e IGLESIAS,
C. (1987)" Simploké.
Filosofía 3º de BUP. Júcar, Madrid, pp. 114-115.
(13)Ver el articulo sobre
``El fracaso universitario", en el suplemento del día 4-02-92, así como
las sucesivas respuestas en los suplementos de los días 10-03-92, 17-03-92 y
31-03-92.
(14)Para un análisis de
las implicaciones del trabajo en un entorno con ordenadores para el aprendizaje
del cálculo, ver DUBINSKY Y TALL (1991) Y TALL (1994)
(15)COURANT R. y ROBBINS, H. (1979):
¿Qué es la matemática?
Aguilar, Madrid, (5 cd.), p. 303.
(16)Para un análisis del papel
de las intuiciones sobre el infinito en la enseñanza ver TIROSH (1991).
Referencias
Bibliográficas
ARTIGUE, M. (1991):
``Analysis". En TALL, D. (Ed.):Adtanced mathematical
thinking. Dordrecht, The Netherland.s, Kluwer Academic Publishers, pp. 167-198.
CORNU, B. (1991): Limits. En TALL, D. (Ed.):Adtanced mathematical
thinking. Donlrecht, The Netherlands, Kluwer Academic Publishers, pp.l53-l65.
DUBINSKY E. y TALL, D. (1991): ``Advanced mathematical thinking and the
computer". En TALL, D. (Ed.): Advanced mathematical thinking. Dordrecht,
The Netherlands, Kluwer Academic Publishers, pp. 231-243.
ERNEST, P. (1994): ``The Philosophy of Mathematics and the Didactics of
Mathematics". En BIEHLER,R, SCHOLZ, RW, STRABER, R y WINKELMAN B. (Eds.):
Didactics of Mathematics as a Scientic Discipline. Dordrecht, The Netherlands,
Kluwer Academic Puhlishers, pp. 335-349.
FISCHBEIN, E. (1994): ``The interaction between the formal, the
algorithmic, and the intuitive components in a mathematical activity". En
BIEHLER, R., SCHOLZ, R.W., STRABER, R. yWINKELMAN, B. (Eds.): Didactics
of Matbematics a sa cientiflc Discipline. Dordrecht, The Netherlands, Kluwer
Academic Publishers, pp.23l-245.
GARCIA HOZ, V. (1970):
Principios de Pedagogía Sistemática. Rialp, Madrid.
LAKATOS, 1. (1978):
Pruebas y Refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Alianza,
Madrid.
M.E.C.(1992):
Matemáticas. Secundaria Obligatoria. Madrid.
M.E.C.(1993):
Propuesta de Secuencia. Matemáticas. Escuela Española, Madrid.
TALL, D. (1994): ``Computer environments for the leaming of
mathematics". En BIEHLER, R., SCHOLZ, RW., STRABER, R y W1NKELMAN, B.
(eis.): Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht, The
Netherlands, Kluwer Academic Puhlishers, pp. 189-199.
TIROSH, D. (1991): ``The role of student's intuitions of infinity in
teaching the Cantonan Theory". En TALL, D. (Ed.): Advanced mathematical
thinking. Dordiecht, The Netherlands, Kluwer Academic Publishers, pp. 199-214.