LO MATEMATICO EN LOS NIÑOS Y NIÑAS PEQUEÑOS

 

Pepi Díaz Villaverde

 

 

El orden existe en el mundo real. La realidad es desde este punto de vista una realidad matemática. Los hombres y mujeres interpretamos la realidad buscando el orden, descubriendo pautas estructurándolo.

 

Lo matemático además de una construcción mental es una adquisición cultural fruto de la interpretación que el hombre ha hecho a través de la historia del orden de la naturaleza, de forma que conocimientos básicos que pueden parecernos naturales no lo son tanto, sino que por el contrario son construcciones de los hombres y de las mujeres que nos han precedido y que nos lo han legado como patrimonio cultural. Los niños y niñas reciben ese patrimonio cultural y lo asimilan desde que nacen, de forma que el marco cultural es también un contexto matemático.

 

Hasta la entrada de los niños y niñas en la Escuela es en el contexto familiar, generalmente, donde ocurren las experiencias y tentativas hacia la conquista del medio, y lo matemático tiene un carácter informal, contextualizado, con referentes concretos y en un contexto global.

 

Al llegar a la Escuela los niños y niñas poseen un bagaje de conocimientos matemáticos que es el resultado de las propias investigaciones en relación con las cosas, en el marco de sus vivencias, en las que han ido recogiendo el aparte cultural de la comunidad en la que vives, y son capaces de manejar sistemas matemáticos sencillos en el desarrollo de actividades concretas (lo que Baroody llama Matemática informal).

 

LO MATEMATICO EN LA ES­CUELA.

 

En principio la Escuela es un buen medio para que los niños y niñas ligan en juego sus conocimientos, enriqueciéndose y asimilando nuevos saberes, cada vez más estructurados, en un medio que se constituye en un contexto matemático, que posibilite la investigación y la comunicación de los descubrimientos.

 

Para que la Escuela se convierta en un medio óptimo para el aprendiza­je de lo matemático (y de cualquier saber) ha de respetar una serie de con­diciones que iremos analizando.

 

Partir de lo que las niñas y niños saben:

 

Es necesario conocer los siste­mas matemáticos que los niños utili­zan, investigando en sus juegos y rela­ciones.

 

Esta investigación supone una atenta observación y una cuidadosa intervención del enseñante que se acerca al saber de los niños con una actitud respetuosa. Hemos de valorar el papel, que desempeña el lenguaje cuando intervenimos. Expresiones co­mo "tu no sabes, es así", pueden con­vencer a los pequeños de que sus in­tentos no sirven porque no dan el re­sultado que nosotros esperamos de ellos. Por el contrario, el análisis de los errores nos ayudará a descubrir proce­sos que nos indicarán como aprender, ya que muchas veces son la expresión de tentativas de los niños que suponen la utilización de sistemas matemáti­cas.

 

Por otra parte hemos de conocer como se han desarrollado histórica­mente los conocimientos matemáticos intentando descubrir el paralelismo entre este desarrollo histórico y el de­sarrollo del niño, ya que puede darnos pautas para comprender las dificulta­des y hacer propuestas metodológicas.

 

Hacer de la clase un contexto mate­mático.

 

La organización espacial y tem­poral de la clase enmarca la actividad que en ella desarrollarnos y tiene en sí misma un contenido matemático.

 

En nuestra propuesta los espa­cios están organizados en áreas de ac­tividad delimitadas. En cada área, Ta­ller, Rincón, se desarrollan determina­dos tipo de actividades y los materiales están situados al alcance de los peque­ños, ordenados según criterios que los niños y niñas han de ir descubriendo y utilizando.

 

Cada día el tiempo se sucede según una rutina que orienta a los ni­ños y niñas dándoles pautas que irán dominando. Hay momentos para estar todos juntos , momentos para jugar solos y actividades en pequeños gru­pos. Hay tiempos para jugar-investi­gar libremente y momentos en los que la maestra propone-dirige una activi­dad. Hay días también en los que se rompe el ritmo en función de una acti­vidad concreta (una salida, una expe­riencia, una fiesta).

 

Poco a poco se van establecien­do las normas de la clase que tienen también un componente matemático: elegimos qué hacer y colocamos una señal que indica el área elegida, hay que colocar cada cosa en su sitio, hay que delimitar el número de niños que juegan en cada área, podemos anotar nuestros juegos, los lugares donde he­mos jugado para recordarlo y contár­selo a los demás marcándolo en una tabla donde aparecerán nuestras fotos, símbolos o nombres y las áreas de actividad en las que hemos jugado.

 

Pensar en los materiales como fuen­te de investigación.

 

El propio cuerpo, y el de los otros será el punto de partida tanto para lo topológico como para lo geométrico o lo numérico. Todo lo que los niños y niñas experimentan y reflexionan pasa por su cuerpo, por un hacer concreto en el que es físicamente activo y desde su propio cuerpo irá haciendo progre­sivas abstracciones.

 

Los demás con sus semejanzas y diferencias son también imprescindi­bles para hacer comparaciones, esta­blecer relaciones y, como veremos más adelante, para intercambiar pun­tos de vista.

 

Todas las cosas que nos rodean, los edificios, los muebles, etc, y todo lo natural son fuentes inagotables para la experimentación, y por lo tanto para la experimentación matemática. Habrá también materiales es­tructurados creados para actuar "matemáticamen­te", dirigidos al aprendiza­je de determinados con­ceptos o procesos; nos re­ferimos a materiales como las regletas Cousinaire, los bloques de Dyenes, geo­planos, ábacos,... para los que han de seguir unos pa­sos que posibiliten su utili­dad y no pierdan interés. Para ellos habrá que respe­tar un periodo de familiari­zación (juego libre), un pe­riodo de aprendizaje de pautas o normas de juegos (juegos dirigidos y juegos libres solos o en grupo con unas pautas dadas previa­mente) y un periodo de profundización con plan­teamiento de nuevos pro­blemas que supongan un avance en la investigación.

 

En cualquier caso, pasado el periodo de familiarización se puede dar con estos materiales tanto el juego libre como el dirigido, intentando recoger los descubrimientos que los niños/as hacen sobre el material y los diversos juegos que establecen, ya que pueden servirnos como estrategias a utilizar con otros niños y niñas. Siempre debe­mos tener en cuenta que es importante dejar descubrir y animar los materia­les con propuestas. El uso exclusivo de estos materiales tiene el peligro de que los niños hagan coincidir el concepto con el material sin realizar las necesa­rias comparaciones que le permitan realizar abstracciones para aplicarlo a nuevas situaciones. Otro tipo de mate­riales, no escolares en el sentido de los anteriores, que tiene un gran valor por­que ponen en acción conceptos, proce­sos y relaciones son los juegos como la baraja española, los dados, la oca, el parchís,..

 

Este tipo de juegos tiene intere­santes ventajas que pasamos a anali­zar:

 

- Tienen un contenido afectivo porque los niños y niñas, aun los más pequeños los conocen en sus casas y comparten esos juegos con sus padres, hermanos y amigos.

- Permiten la actividad indivi­dual y la de grupo, suponiendo un con­texto de relación, de puesta en práctica de estrategias, de explicación al com­pañero, etc.

- Ponen en acción diversos con­ceptos matemáticos que se van abstra­yendo y suponen establecer reglas que son también relaciones matemáticas.

- Suelen obligar a comunicar los resultados, facilitando la creación de un sistema de anotación y comunica­ción.

- Tienen como fin el juego en si mismo y la diversión.

- Forman parte de nuestro con­texto cultural y subyace en ellos el saber matemático heredado de nues­tros antecesores.

 

Vistas las ventajas que este tipo de materiales nos ofrecen han de tener un lugar en la clase de niños pequeños para que puedan utilizarlos libremente y en el desarrollo de propuestas.

 

Están, por fin, los materiales que con una intencionalidad concreta ela­boramos las maestras y maestros y que son la expresión de un planteamiento metodológico. Un buen ejemplo de es­te tipo de materiales son los que ha presentado en el "Kikiriki" Manolo Alcalá (rectas numéricas, materiales para clasificaciones, etc.) En este tipo de materiales se plantea la progresión en las dificultades avanzando sistemá­ticamente a partir de lo que se conoce y domina. El maestro/a investiga sobre las realizaciones de los niños y a partir de ellas elabora nuevos materiales que les permitan a su vez nuevas investi­gaciones.

 

Facilitar la relación de unos con otros y los intercambios de los pun­tos de vista.

 

La discusión con otros obliga a justificar las propias conclusiones creando un contexto que facilita la re­flexión y la expresión de los descubri­mientos. Por otra parte éstos se comu­nican a los demás utilizando un len­guaje simbólico que ha de crearse y que supone una abstracción, y además si queremos entendernos hemos de elaborar un sistema de signos comunes para la clase. El paso a la comprensión del lenguaje matemático formal y des­contextualizado ocurrirá así de forma progresiva y a partir de los sistemas «ve hemos inventado en la clase.

 

"La construcción de los simbo­lismos matemáticos comporta una ver­dadera construcción conceptual que tiene su origen en contextos de interac­ción social en los que la necesidad de convención y comunicación obliga a un análisis más profundo de aquello que se desea transmitir, análisis que viene facilitado por el recurso a los códigos figurativos y al lenguaje natu­ral" (Carmen Gómez Granell en Co­municación Lenguaje y Educación, 1.989 nº 3-4).

 

La maestra o maestro interactúa con los niños y niñas y aporta su punto de vista:

 

Además de poner las condicio­nes materiales y organizar la clase el maestro/a ha de ayudar a los niños a establecer relaciones, ordenar sus des­cubrimientos, animarles a comunicar­los. Cuando los niños juegan solos o en grupo el maestro/a se acerca, obser­va, escucha, pregunta, sugiere, da pau­tas.

 

Desde su punto de vista de maes­tro organiza y propone actividades di­rigidas a un objetivo concreto, contro­lando los factores que influirán en su desarrollo haciéndola significativa. Este tipo de actividades programadas con sistemacidad le servirán para co­nocer la evolución individual de los niños y del grupo recogiendo datos que junto a los recogidos de la activi­dad libre de los niños le permitirá eva­luar su propia tarea e investigar en ella.

 

Además el maestro recoge los descubrimientos e invenciones de los niños, tomando siempre sus saberes como punto de partida para la intro­ducción de nuevos conocimientos y tareas.

 

Es, en definitiva, un colaborador que conociendo cómo se produce el aprendizaje se acerca a él con una ac­titud respetuosa y atenta sabiendo que los saberes no están acabados sino en elaboración constante y descubriendo en los errores salidas valiosas para avanzar.

 

ALGUNAS EXPERIENCIAS, RE­FLEXIONES ENTORNO A LAS MISMAS.

 

El conteo, técnica básica en la adquisición del número.

 

Intencionadamente se muestran varias experiencias de conteo con ni­ños y niñas de diferente edades, de forma que podamos analizar la evolu­ción del mismo.

 

Mª Isabel (3 años y 4 meses) juega de forma espontánea a contar sus dedos, la maestra se acerca y le invita "Cuéntame a mí los dedos", mostrán­dole su mano. Isabel se dispone a contar señalando los dedos: 1-2-3, y sigue, perdiendo el ritmo 4 y 5. Mos­trándole las dos manos la maestra pro­pone: "Cuéntamelo otra vez". Isa­bel cuenta de nuevo hasta 5 de igual forma que la vez anterior y reinicia el conteo en la segunda mano.

 

Si analizamos el conteo de Isabel podemos comprobar que: Es ca­paz de generar sistemáticamente los números hasta el 5 en un orden ade­cuado, comete un error de coordina­ción entre la emisión verbal y el acto de señalar.

 

Ricardo (3 años y 8 meses) ha estado jugando con un juego de fichas grandes de madera. Aprovechando la situación la maestra le propone contar un grupo de fichas que hay sobre la mesa. Cuenta en voz alta señalando una ficha por cada término: 1-2-3-7-2-­3-4-5-6-7- y 11.

 

Ricardo conoce los nombres de los números, no tiene errores de coor­dinación pero sí de secuencia. No ha asimilado además el principio de or­den estable y el de unicidad.

 

Cristina (4 años y medio) ha ensartado bolas para hacer un co­llar.La maestra se acerca y le pregunta: ¿Cuántas bolas tienes?. Cristina cuen­ta hasta 10 correctamente. La maestra añade más bolas y de nuevo el conteo desde el principio y cuenta hasta 15 sin problemas. La maestra añade cinco fi­chas más y Cristina reinicia de nuevo el conteo, señalando cada bola coinci­diendo con la emisión oral del término, pero después de 15 continua 18-18, tararea sin perder el ritmo y acaba en 20. La maestra le pregunta ¿Cuántas bolas tienes?, Cristina contesta 20.

 

Cristina no parece conservar la cantidad, lo que le obliga a iniciar el conteo una y otra vez. Tiene elaborada la secuencia numérica hasta el 15 y le faltan términos para continuar. Es ca­paz de aplicar la regla del valor cardi­nal ya que sabe que el último término es el valor cardinal del conjunto de sus bolas.

 

Noé (5 años) juega con fichas de colores y ante la propuesta de la maes­tra de que las cuente lo va haciendo ordenándolas en círculo. Cuenta co­rrectamente hasta 25. La maestra le dice ¿Estás seguro?, contesta que sí pero decide volver a contarlas. Esta vez las agrupa por colores a la vez que las va contando, muy seguro afirma "Hay 25".

 

Noé parece tener una estrategia más elaborada en la que aparece el principio de irrelevancia del orden.

 

Estefania (5 años y medio) tiene sobre la mesa un grupo de fichas. La maestra le pregunta ¿Son pares o no­nes? (sobre este juego se ha trabajado varias veces en clase en diferentes contextos y con materiales distintos) Estefanía contesta "No sé" ¿Cómo po­dríamos saberlo? "Las voy a contar". Las va contando señalando de una en una al principio sin emisión oral y a partir de 20 cuenta en voz alta. Al llegar a 29 sigue veinte y diez, veinte y once, veinte y doce, veinte y trece. Y dice que tiene veinte y trece. La maes­tra le interroga sobre si son pares o nones y acaba agrupándolas de dos en dos. Estefanía ha elaborado una estra­tegia inteligente para nombrar las de­cenas.

 

De estas experiencias podemos deducir que los niños y niñas manifies­tan un cierto conocimiento del número y en concreto del conteo. Parece que el aprender a contar es un proceso en el que cometen "errores" que pueden darnos pistas de cómo se produce este aprendizaje. Por otra parte el contar es una experiencia clave en la adquisi­ción del número y la utilización poste­rior del mismo para establecer relacio­nes numéricas y realizar operaciones.

 

Consecuencias metodológicas.

 

Conocer lo que los niños y niñas saben y cómo aprenden es el punto de partida para establecer criterios, hacer propuestas, elaborar materiales y utili­zar los que están a nuestro alcance. En nuestro caso hemos ido ela­borando algunas propuestas encami­nadas a la adquisición del número te­niendo en cuenta las observaciones re­alizadas. Veamos un par de ejemplos.

 

El traganúmeros.

 

El juego va encaminado a la ela­boración de la serie numérica. Puede jugarse entre dos o más niños y se pueden utilizar diversos materiales: baraja española, regletas, reglas numé­ricas con espacios vacíos, etc.

 

Entre todos los jugadores orde­nan las fichas, barajas, regletas, etc. Un jugador retira una o varias cartas por ejemplo y otro, que no le ha visto ha de adivinar qué carta es y rellenar el hueco.

 

El juego se puede complicar qui­tando una cantidad mayor de cartas, jugando con la serie de números pares, impares, iniciándola por un número mayor hasta otro menor.

 

Rellenar el tablero.

 

El juego permite trabajar la enu­meración, el concepto de equivalencia con pautas numéricas. Se juega con dos tableros.

 

La interacción entre iguales: el in­tercambio de puntos de vista como estrategia imprescindible en el aprendizaje.

 

La situación se plantea en una clase de Preescolar entre niños de 5 años, con alguna diferencia de meses, aproximadamente a mitad de curso.

 

Jorge tiene delante como resul­tado de un juego anterior con fichas y dados (jugaban a tirar el dado y coger tantas fichas como puntos del dado) una fila de fichas azules y otra de fi­chas amarillas. Están alineadas de tal forma que son igual de largas.

 

La maestra se acerca y pregunta: ¿Dónde hay más, quién ha ganado?, "Los dos porque hay igual". La maes­tra separa la alineación de fichas ama­rillas y pregunta de nuevo: ¿Y ahora?, "Ahora hay más amarillas porque si las separas hay más y si las juntas menos. Se acerca Cristina y dice: "Aunque esté más corta puede haber más. La maestra pregunta: ¿Cómo lo podría­mos saber?. Cristina contesta como sorprendida, "Las contamos". Las cuenta y dice "Hay más amarillas" (lo que es cierto, hay 21 amarillas y 19 azules).

 

De nuevo la maestra extendien­do las azules le pregunta a Jorge dónde hay más. Jorge contesta que azules, pero con cara de duda. Se decide a contar. La situación se repite varias veces y Jorge está confuso pero parece tener ganas de resolver su problema. Se acerca Noé y Jorge le plantea el problema. Sin fijarse para nada en la alineación Noé cuenta. La maestra ex­tiende y acorta las filas y cada vez Noé vuelve a contar. También Jorge cuenta ahora ante las preguntas de la maestra y cuando ésta pregunta ¿Qué pasa si extiendo las azules? contesta "No pasa nada".

 

En esta actividad observamos que la ayuda, la interacción de unos con otros pueden ser un importante apoyo entre los niños y niñas. Jorge, un niño no conservador ha de replan­tearse su punto de vista, y a pesar de las dudas se va generando a lo largo de esta actividad compartida un aprendi­zaje.

 

Estas situaciones de conflicto son imprescindibles para el desarrollo y como consecuencia han de plantear­se en la clase y utilizarlas como recur­so.

 

Aprovechar lo cotidiano para hacer reflexiones matemáticas.

 

Las experiencias tienen lugar en una clase de Preescolar con 19 niños y niñas de tres, cuatro y cinco años.

 

Cada día de la semana se anota en el calendario de la clase el día co­rrespondiente de la semana y del mes haciendo observaciones meteorológi­cas (anotándolas) y diversos comenta­rios. Se aprovecha también para enu­merar los días desde el uno hasta la fecha que corresponda, apoyando la emisión verbal con acciones rítmicas (por ejemplo los números impares se señalan con palmas, los pares con un golpe en los muslos). Otro día se hacen agrupaciones de los propios niños y niñas o se utilizan materiales.

 

Veamos lo que ocurrió el día 19 de mayo:

 

"Como cada mañana, situados en corro, después del saludo se proce­de a marcar la fecha y se van enume­rando los días contando hasta 19. En esta ocasión se marcan los números impares con palmas a la vez que se dicen en voz alta y los pares se señalan con golpes en el muslo pero sin emi­sión verbal. Terminada la acción algu­nos niños/as comentan "Es impar". La maestra pregunta ¿Será de la familia del dos? Los mayores responden con seguridad "No, porque lo tocamos con las palmas", ¿Cómo podríamos asegu­rarnos?, Jenaro dice "Nosotros somos 19, nos ponemos de dos en dos y si no sobra nadie... y yo creo que sobra uno". La maestra insiste ¿Y será de la familia del tres? Las opiniones están ahora divididas y varios dicen: "Proba­mos a ver". Naturalmente se aprueba y surgen propuestas de seguir probando con el cuatro, cinco, etc. A partir del cuatro Alberto, que observa atenta­mente los grupos, aventura el resulta­do diciendo que sobrarán tres, cuatro, uno, etc. De todos modos se comprue­ba haciendo las correspondientes agrupaciones. Para sorpresa de la maestra Jenaro comenta "Me acuerdo, al 19 le pasa como al 13, que solo podíamos ponernos de uno en uno o trece". La maestra le dice ¿No habrá otros números que conocemos que les pasa lo mismo?, Jenaro contesta "No lo sé", Alberto dice "Me parece que sí". El interés de los niños se aprove­cha y la maestra les propone que prue­ben con fichas y con todos los números hasta el 19 (los demás niños y niñas están ya desinteresados) y los dos se dirigen al Rincón de materiales estruc­turados y realizan la tarea llegando a la conclusión correcta: "Como al 19 le pasa al 1, al 2, al 3, al 5, al 7, al 11, al 13,al 17, al 19".

 

El día 24 de mayo se desarrolló la actividad de manera semejante a la descrita anteriormente. En este caso y dado que no había niños y niñas sufi­cientes las agrupaciones se hicieron con fichas de madera. De nuevo Alber­to iba aventurando el resultado y al observar que podía hacer muchas agrupaciones sin que sobraran fichas más niños y niñas se fueron interesan­do en la actividad, participando en la realización de las agrupaciones y algu­nos aventurando resultados.

 

En el juego libre los niños de­sarrollan tareas y llevan a cabo des­cubrimientos.

 

Juegan en el Rincón de experien­cias Mercedes (4 años) y Adrián (3 años). El juego consiste en llenar vasos de agua. Cada uno tiene delante una lineación de vasos iguales y los van llenando y vaciando con jarras. Las jarras son de diferente capacidad. Mercedes tiene la pequeña y Adrián la grande (la diferencia de capacidad no es apreciable fácilmente ya que las jarras son de diferente for­ma). En determinado momento llenan a la vez y Mercedes desea coger la jarra de Adrián y le dice "Ahora cojo yo esa que lleva más agua". Mercedes ha concluido al ver que Adrián puede llenar más vasos cuáles la jarra que lleva más agua.

 

Juegan Cristina y Eva, dos niñas de cuatro años a la baraja española. Han establecido un juego que consiste en coger una carta cada una, volverla y com­pararla. Gana las dos cartas la que tiene la carta más alta. Cuan­do terminan las cartas las cuen­tan, pero antes las han alineado haciendo corresponder una a una de cada fila. Después deciden or­denarlas, las clasifican por el pa­lo y luego las ordenan por el número, de forma que sobre la mesa aparecen a la vista todas las cartas de la baraja clasificadas y ordenadas. Llega Ma­nuel, un niño mayor y les propone un nuevo juego: El quita varias cartas y ellas han de colocarlas.

 

* M.C.E.P. - León